Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+2與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0），
B（x₂，0）（x₁＜x₂），且x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，點(diǎn)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）分別求出拋物線和直線AC的解析式；
（3）若將過點(diǎn)（0，2）且平行于x軸的直線定義為直線y=2．設(shè)動(dòng)直線y=m（0＜m＜2）與線段AC、BC分別交于D、E兩點(diǎn)．在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△DEP為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線y=ax²+bx+2與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），且x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么解方程x²-2x-3=0即可得到點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）首先把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx+2可以得到關(guān)于a、b的方程組，解方程組即可求出a、b的值，同時(shí)可以得到c的值，最后利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式；
（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，并設(shè)直線y=m與y軸的交點(diǎn)為F（0，m）．
①當(dāng)DE為腰時(shí)，分別過點(diǎn)D，E作DP₁⊥x軸于P₁，作EP₂⊥x軸于P₂，如圖1，則△P₁DE和△P₂ED都是等腰直角三角形，然后證明△CDE∽△CAB，接著利用相似三角形的性質(zhì)求出m，然后求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，也就求出了P的坐標(biāo)；
②如圖2，當(dāng)DE為底邊時(shí)，過DE的中點(diǎn)G作GP₃⊥x軸于點(diǎn)P₃．同樣的方法可以求出D的縱坐標(biāo)，也就求出了P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由x²-2x-3=0，得x=-1或x=3．
∵x₁＜x₂，
∴x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx+2聯(lián)立求解，
得a=-

2

3

，b=

4

3

．（2分）
∴此拋物線的解析式為y=-

2

3

x2+

4

3

x+2．
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴C（0，2）．
設(shè)AC的解析式為y=kx+n（k≠0），把A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=kx+n，
聯(lián)立求得k=2，n=2．
∴直線AC的解析式為y=2x+2；

（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，并設(shè)直線y=m與y軸的交點(diǎn)為F（0，m）
①當(dāng)DE為腰時(shí)，分別過點(diǎn)D，E作DP₁⊥x軸于P₁，作EP₂⊥x軸于P₂，如圖1，則△P₁DE和△P₂ED都是等腰直角三角形，
∴DE=DP₁=FO=EP₂=m．
∵AB=x₂-x₁=4，
又∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴

DE

AB

=

CF

OC

，即

m

4

=

2-m

2

．
解得m=

4

3

．
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是

4

3

．
∵點(diǎn)D在直線AC上，
∴2x+2=

4

3

，
解得x=-

1

3

，
∴D(-

1

3

，

4

3

)．
∴P1(-

1

3

，0)．
同理可求P₂（1，0）．
②如圖2，當(dāng)DE為底邊時(shí)，過DE的中點(diǎn)G作GP₃⊥x軸于點(diǎn)P₃
∵P₃D=P₃E，∠DP₃E=90°，
∴DG=EG=GP₃=m，
由△CDE∽△CAB，
得

DE

AB

=

CF

OC

，即

2m

4

=

2-m

2

，
解得m=1．
同①方法求得D(-

1

2

，1)，E(

3

2

，1)，
∴DG=EG=GP₃=1．
∴OP3=FG=FE-EG=

1

2

，
∴P3(

1

2

，0)．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P共有3個(gè)，
即P1(-

1

3

，0)，P2(1，0)，P3(

1

2

，0)．
如有其他解（證）法，請(qǐng)酌情給分．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和相似三角形的性質(zhì)與判定及待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．