Question

已知△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）如圖1，當(dāng)C、A、D在同一直線上時(shí)，連CE、BD，判斷CE和BD位置關(guān)系，填空CE

 

BD．
（2）如圖2，把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，試問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立，寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．
（3）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上，將△ACE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度到如圖所示的△AC′E′的位置，連接BE′、DC′，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BE′于點(diǎn)N，反向延長(zhǎng)AN交DC′于點(diǎn)M．求

DM

DC′

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，可得出∠C+∠D=90°，從而得出CE⊥BD；
（2）延長(zhǎng)CE交BD于M，設(shè)AB與EM交于點(diǎn)F．由等量關(guān)系可知∠CAE=∠BAD，從而證明∠ACE=∠ABD．再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，得出∠BMC=90°，得出結(jié)論仍然成立；
（3）過(guò)C′作C′G⊥AM于G，過(guò)D作DH⊥AM交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．通過(guò)證明∴△ANE′≌△C′GA（AAS），得出AN=C′G；△BNA≌△AHD，得出AN=DH．則C′G=DH．再通過(guò)證明△C′GM≌△DHM，即可得出

DM

DC′

的值．

解答：解：（1）CE⊥BD．

（2）延長(zhǎng)CE交BD于M，設(shè)AB與EM交于點(diǎn)F．
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAE=∠BAD．
又∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，AB=AD，
∴∠ACE=

180°-∠CAE

2

，∠ABD=

180°-∠BAD

2

，
∴∠ACE=∠ABD．
又∵∠AFC=∠BFM，∠AFC+∠ACE=90°，
∴∠ABD+∠BFM=90°，
∴∠BMC=90°，
∴CE⊥BD．

（3）過(guò)C′作C′G⊥AM于G，過(guò)D作DH⊥AM交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．
∵∠E′NA=∠AGC′=90°，
∴∠NE′A+∠NAE′=90°，∠NAE′+∠C′AG=90°，
∴∠NE′A=∠C′AG，
∵AE′=AC′
∴△ANE′≌△C′GA（AAS），
∴AN=C′G．
同理可證△BNA≌△AHD，AN=DH．
∴C′G=DH．
在△C′GM與△DHM中，
∠C′GM=∠DHM=90°，∠C′MG=∠DMH，C′G=DH，
∴△C′GM≌△DHM，
∴C′M=DM，
∴

DM

DC′

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，由三角形內(nèi)角和等于180°，得出其中兩個(gè)角的和為90°來(lái)證明垂直，此證法是比較常用的證垂直的作法，學(xué)生應(yīng)該掌握．