Question

（2013•莆田）如圖所示，某學(xué)校擬建一個含內(nèi)接矩形的菱形花壇（花壇為軸對稱圖形）．矩形的四個頂點分別在菱形四條邊上，菱形ABCD的邊長AB=4米，∠ABC=60°．設(shè)AE=x米（0＜x＜4），矩形EFGH的面積為S米²．
（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）學(xué)校準(zhǔn)備在矩形內(nèi)種植紅色花草，四個三角形內(nèi)種植黃色花草．已知紅色花草的價格為20元/米²，黃色花草的價格為40元/米²．當(dāng)x為何值時，購買花草所需的總費用最低，并求出最低總費用（結(jié)果保留根號）？

Answer 1

分析：（1）連接AC、BD，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得EH∥BD，EF∥AC，△BEF為等邊三角形，從而求出EF，在Rt△AEM中求出EM，繼而得出EH，這樣即可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）根據(jù)（1）的答案，可求出四個三角形的面積，設(shè)費用為W，則可得出W關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）連接AC、BD，

∵花壇為軸對稱圖形，
∴EH∥BD，EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形．
同理，得到△BEF是等邊三角形，
∴EF=BE=AB-AE=4-x，
在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，
則EM=AEcos∠AEM=

3

2

x，
∴EH=2EM=

3

x，
故可得S=（4-x）×

3

x=-

3

x²+4

3

x．

（2）易求得菱形ABCD的面積為8

3

m²，
由（1）得，矩形ABCD的面積S=-

3

x²+4

3

x．
則可得四個三角形的面積為（8

3

+

3

x²-4

3

x），
設(shè)總費用為W，
則W=20（-

3

x²+4

3

x）+40（8

3

+

3

x²-4

3

x）
=20

3

x²-80

3

x+320

3

=20

3

（x-2）²+240

3

，
∵0＜x＜4，
∴當(dāng)x=2時，W取得最小，W_最小=240

3

元．
即當(dāng)x為2時，購買花草所需的總費用最低，最低費用為240

3

元．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，首先需要根據(jù)花壇為軸對稱圖形，得出EH∥BD，EF∥AC，重點在于分別得出EF、EH關(guān)于x的表達式，另外要掌握配方法求二次函數(shù)最值的應(yīng)用．