Question

已知二次函數(shù)y=x²-mx+m-2。
（1）求證：無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)，該二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）當(dāng)該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，6）時(shí)，求二次函數(shù)的解析式；
（3）將直線y=x向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后與（2）中的拋物線交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自點(diǎn)A出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上的某點(diǎn)E，再到達(dá)x軸上的某點(diǎn)F，最后到達(dá)點(diǎn)B，求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總 路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長(zhǎng)。

Answer 1

解：（1）令y=0，則x2-mx+m-2=0， ∵△=（-m）2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4， 又∵（m-2）2≥0， ∴（m-2）2+4>0， 即△>0， ∴無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)，一元二次方程x2-mx+m-2=0總有兩不等實(shí)根， ∴該二次函數(shù)圖象與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)； （2）∵二次函數(shù)y=x2-mx+m-2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，6）， ∴32-3m+m-2=6， 解得m=， ∴二次函數(shù)的解析式為；

（3）如圖，將y=x的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后， 其解析式為：y=x-2， 解方程組 得  ∴直線y=x-2與拋物線y=x2-x-的交點(diǎn)為A（，），B（1，-1）， ∴點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=的對(duì)稱點(diǎn)是A′（0，-）， 點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是B′（1，1）， 設(shè)過(guò)點(diǎn)A′B′的直線解析式為y=kx+b， ∴解得 ∴直線A′B′的解析式為y=x- ∴直線A′B′與x軸的交點(diǎn)為F（，0）， 與直線x=的交點(diǎn)為E（，-）， 則點(diǎn)E（，-）、F（，0）為所求， 過(guò)點(diǎn)B′作B′H ⊥AA′于點(diǎn)H， ∴B′H=，HA′=1， 在Rt△A′B′H中， ∴所求最短總路徑的長(zhǎng)為AE+EF+FB=A′B′=。