Question

【題目】如圖，AB，AC均為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為B，C，點(diǎn)D是優(yōu)弧BC上一點(diǎn)，則下列關(guān)系式中，一定成立的是（　�。�

A. ∠A+∠D＝180°B. ∠A+2∠D＝180°

C. ∠B+∠C＝270°D. ∠B+2∠C＝270°

Answer 1

【答案】B

【解析】

連接OB，OC，由AB與AC為圓O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和為360度可對(duì)選項(xiàng)A、B作出判斷；連接OB、BC，OC，延長(zhǎng)BO交圓于E，連接DE，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可求得∠DBE+∠E＝90°，繼而通過(guò)角的代換可得∠ABO+∠DBE+∠BCD+∠ACO＝270°，再根據(jù)∠ACB＜∠ACO，繼而可得∠ABD+∠ACD＜270°，∠ABD+∠ACD+∠OCB＝270°，由此即可判斷C、D選項(xiàng).

連接OB，OC，如圖1所示：

∵AB，AC分別為圓O的切線，

∴AB⊥OB，AC⊥OC，

∴∠ABO＝∠ACO＝90°，

∴∠A+∠BOC＝360°﹣(∠ABO+∠ACO)＝180°，

∵∠BOC＝2∠D，

∴∠A+2∠D＝180°，故A不成立，B成立；

②連接OB、BC，OC，延長(zhǎng)BO交圓于E，如圖2所示：

∵BE是直徑，

∴∠BDE＝90°，

∴∠DBE+∠E＝90°，

∵∠ABO＝∠ACO＝90°，∠E＝∠BCD，

∴∠ABO+∠DBE+∠BCD＝180°，

∴∠ABO+∠DBE+∠BCD+∠ACO＝270°，

∵∠ACB＜∠ACO，

∴∠ABO+∠DBE+∠BCD+∠ACB＜270°，

即∠ABD+∠ACD＜270°，∠ABD+∠ACD+∠OCB＝270°，

∵∠OCB＜∠ACD，故C、D都不成立，

故選B．