Question

【題目】如圖，已知線段AB＝12cm，C是線段AB上一定點，且AC＝3cm，點D是線段BC上的一個動點，設CD＝xcm，以C為中心順時針旋轉線段AC以D為中心，逆時針旋轉線段DB，使A、B兩點能重合于點E．

（1）當C、D、E三點能構成三角形時，求x的取值范圍；

（2）當x為何值時，△CDE是直角三角形？

（3）記△CDE的面積為Scm2，試求出S與x的函數(shù)表達式；若△CDE的面積為cm2，試確定此時點D的位置？

Answer 1

【答案】（1）3＜x＜6；（2）當x＝4或5時，△CDE是直角三角形；（3）S＝；當S＝時，D與點C的距離為cm或cm．

【解析】

（1）由AC＝CE＝3，AB＝12，CD＝x知DE＝BD＝9﹣x，利用三角形三邊關系可得答案；

（2）分∠DCE＝90°，∠CDE＝90°和∠CED＝90°三種情況，利用勾股定理列出方程，解之可得；

（3）作EF⊥AB，設CF＝m，△CDE的面積為S，根據(jù)EF2＝9﹣m2＝（9﹣x）2﹣（x﹣m）2得m＝，由S＝CDEF知S2＝CD2EF2將相關數(shù)據(jù)代入，整理可得函數(shù)解析式，再根據(jù)題意列出方程解之可得．

解：（1）∵AC＝CE＝3，AB＝12，CD＝x，

∴DE＝BD＝9﹣x，

由CD+CE＞DE且CD﹣CE＜DE

可得，

解得：3＜x＜6；

（2）①當∠DCE＝90°時，

根據(jù)勾股定理CD2+CE2＝DE2，即x2+32＝（9﹣x）2，

解得：x＝4；

②當∠CDE＝90°時，

根據(jù)勾股定理CD2+DE2＝CE2，即x2+（9﹣x）2＝32，

整理，得：x2﹣9x+36＝0，

由△＝（﹣9）2﹣4×1×36＝﹣63＜0知方程無解；

③當∠CED＝90°時，

根據(jù)勾股定理CE2+DE2＝CD2，即32+（9﹣x）2＝x2，

解得：x＝5；

綜上，當x＝4或5時，△CDE是直角三角形；

（3）過點E作EF⊥AB于點F，

設CF＝m，△CDE的面積為S，

則：EF2＝9﹣m2＝（9﹣x）2﹣（x﹣m）2，

∴m＝，

∵S＝CDEF，

S2＝CD2EF2

＝x2[9﹣]

＝﹣18（x2﹣9x+18），

∴S＝，

當S＝＝時，

解得：x1＝，x2＝，

此時點D與點C的距離為cm或cm．