Question

17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，3），（3，0）
（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖2，點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為y軸上自原點(diǎn)向正半軸方向運(yùn)動(dòng)的一動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位長度/s，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，點(diǎn)Q為射線BA上一點(diǎn)，當(dāng)t=5時(shí)，$\frac{{S}_{△PQO}}{{S}_{△CDB}}$=$\frac{5}{3}$，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)△PDC為等腰直角三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法可以確定直線AB的解析式．
（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)Q（m，n），根據(jù)三角形的面積公式代入$\frac{{S}_{△PQO}}{{S}_{△CDB}}$=$\frac{5}{3}$，即可解決問題．
（3）作DM⊥OB，DN⊥OP，利用△DNP≌△DMC，求出PN即可．

解答 解：（1）設(shè)直線AB為y=kx+b，
把A（0，3）、B（3，0）分別代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-x+3．
（2）如圖1，設(shè)Q（m，n）
∵P（0，10），A（0，3），B（3，0），AD=DB
∴D（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∵$\frac{{S}_{△PQO}}{{S}_{△CDB}}=\frac{5}{3}$
∴$\frac{\frac{1}{2}×10×|m|}{\frac{1}{2}×6×\frac{3}{2}}=\frac{5}{3}$，
∴m=$±\frac{3}{2}$，
∵點(diǎn)Q在直線AB上，∴m=$\frac{3}{2}$時(shí)，n=$\frac{3}{2}$；m=-$\frac{3}{2}$時(shí)，n=$\frac{9}{2}$，
∴Q（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$）．
（3）如圖2，作DM⊥BO，DN⊥OP垂足分別為M，N．
∵△PDC是等腰直角三角形，
∴DP=DC，
∵點(diǎn)D坐標(biāo)（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴DM=DN=$\frac{3}{2}$，
在RT△DNP和RT△DMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DP=DC}\\{DN=DM}\end{array}\right.$，
∴RT△DNP≌RT△DMC，
∴PN=CM，
∵CM=$\frac{9}{2}$，ON=$\frac{3}{2}$，
PN=$\frac{9}{2}$，PO=6，
∴t=$\frac{6}{2}$=3秒

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、三角形的面積公式、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系等知識(shí)，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解決第3問的關(guān)鍵．