Question

如圖，在矩形ABCD中，BC=4，以BC為直徑作半圓O與AD相切，對角線AC與半圓相交于點M．點E、F分別是BC、CD邊上的動點，且CF=2CE，線段EF與AC相交于點G．以C為圓心，CG為半徑作⊙C．
（1）求證：∠BAC=∠FEC；
（2）求證：EF是⊙C的切線；
（3）若S_△MEC=S_△EFC，求⊙C的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形和切線的性質(zhì)得到AB=BO，易得AB：BC=CE：CF=1：2，則可判斷△ABC∽△ECF，所以∠BAC=∠FEC；
（2）由∠FEC=∠BAC，∠ACB+∠BAC=90°，則∠GCE+∠FEC=90°，所以∠CGE=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（3）過M作MH⊥BC 垂足為H，如圖，則MH∥AB，所以

MH

AB

=

CH

BC

，利用BC=2AB，設(shè)MH=h  則CH=2h，OH=CH-CO=2h-2，在Rt△MHO中根據(jù)勾股定理計算出h=

8

5

，即MH=

8

5

，再利用S_△MEC=S_△EFC計算出CF=MH=

8

5

，則CE=

4

5

，然后在Rt△CEF中利用勾股定理計算出EF，再根據(jù)三角形面積公式可計算出CG．

解答：（1）證明：∵半圓O與AD相切，
∴AB=BO，
又BC=4，∴AB=2，
∵AB：BC=1：2，CE：CF=1：2，
∴AB：BC=CE：CF，
又∵∠ABC=∠ECF=90°，
∴△ABC∽△ECF，
∴∠BAC=∠FEC；
（2）證明：∵∠FEC=∠BAC，∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠GCE+∠FEC=90°，
∴∠CGE=90°，
∴CG⊥EF，
∴EF是⊙C的切線；
（3）解：過M作MH⊥BC 垂足為H，如圖，
則MH∥AB，
∴∠CMH=∠CAB，∠CHM=∠CBA，
∴△CMH∽△CAB，
∴

MH

AB

=

CH

BC

，BC=2AB，
設(shè)MH=h  則CH=2h，OH=CH-CO=2h-2，
連接OM，在Rt△MHO中，∠MHO=90°，
∴MH²+HO²=OM²，即h²+（2h-2）²=2²，解得h₁=0（舍去），h₂=

8

5

，
∴MH=

8

5

，
∵S_△MEC=S_△EFC，
∴

1

2

CE•MH=

1

2

CE•CF，
∴CF=MH=

8

5

，
∴CE=

4

5

，
在Rt△CEF中，EF=

CF2+CE2

=

4 5

5

，
∵

1

2

CG•EF=

1

2

CF•CE，即CG•

4 5

5

=

4

5

•

8

5

，
∴CG=

8 5

25

，
即⊙C的半徑CG=

8 5

25

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了勾股定理和三角形相似的判定與性質(zhì)．