Question

 已知∠ABC=90°，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），分別以AB、AP為邊在∠ABC的內部作等邊△ABE和△APQ,連結QE并延長交BP于點F.

（1）如圖1，若AB=，點A、E、P恰好在一條直線上時，求此時EF的長（直接寫出結果）；

（2）如圖2，當點P為射線BC上任意一點時，猜想EF與圖中的哪條線段相等（不能添加輔助線產生新的線段），并加以證明；

（3）若AB=，設BP=4，求QF的長．

 

Answer 1

【答案】

1）EF=2（2）EF=BF，見解析（3）6

【解析】解：（1）EF=2．                    3分

（2）EF=BF．                                 　　 4分

證明： ∵ ∠BAP=∠BAE-∠EAP=60°-∠EAP ， 

∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP，

∴ ∠BAP=∠EAQ ．               

在△ABP和△AEQ中， 

AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ，

∴ △ABP≌△AEQ．

∴ ∠AEQ=∠ABP=90°．

∴ ∠BEF．

又∵ ∠EBF=90°-60°=30°，

∴EF=BF．                            8分

　　(3) 在圖1中，過點F作FD⊥BE于點D．

     　∵ △ABE是等邊三角形,

    　 ∴ BE=AB=．

由（2）得 30°，

       在Rt△BDF中， ．   

∴  BF=  ．  

∴  EF=2  ．   　　　 10分

∵  △ABP≌△AEQ ,

      ∴  QE=BP=4．    　　12分

∴  QF=QE＋EF＝4＋2＝6

（1）利用解直角三角形求解

（2）利用全等三角形求證

(3)過點F作FD⊥BE于點D，利用三角函數求出EF的長，再求證△ABP≌△AEQ，求得QE的長，從而求出QF的長