Question

方程組的所有正整數(shù)解是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先根據(jù)題目已知條件與x、y、z為正整數(shù)，首先確定x的取值，再就x的各種情況進(jìn)行討論．得到最終結(jié)果．
解答：解：∵?
∵（y-z）²≥0?2yz≤y²+z²?2yz+y²+z²=2（y²+z²）?（y+z）²≤2（y²+z²）
∴（y+z）²=（6x-20）²≤2（y²+z²）=2（1979-x²）
于是（6x-20）²≤2（1979-x²）≤2×1978＜63²

注解到不等式（y+z）²≤2（y²+z²）有（y+z）²=（6x-20）²≤2（y²+z²）=2（1979-x²），
于是（6x-20）²≤2（1979-x²）≤2×1978＜63²，即-63＜6x-20＜63
又∵y+z=6x-20是正整數(shù)
∴0＜6x-20＜63，即，從而4≤x≤13．
再由y+z為偶數(shù)，從而y²+z²為偶數(shù)，x²為奇數(shù)，進(jìn)而x為奇數(shù)．
∴x=5，7，9，11，13
①當(dāng)x=5時，，顯然y、z正整數(shù)解不存在．
②當(dāng)x=7時，，顯然y、z正整數(shù)解不存在．

③當(dāng)x=9時，，顯然y、z正整數(shù)解不存在．

④當(dāng)x=11時，解得或；
⑤當(dāng)x=13時，解得或．
故答案為
點評：本題考查高次方程，解題本題的突破口是首先確定x的取值范圍．