Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+bx+c，經(jīng)過(guò)A（0，﹣4），B（x1 ， 0），C（x2 ， 0）三點(diǎn)，且|x2﹣x1|=5．

（1）求b，c的值；
（2）在拋物線上求一點(diǎn)D，使得四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并判斷這個(gè)菱形是否為正方形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣4），

∴c=﹣4

又∵由題意可知，x1、x2是方程﹣x2+bx﹣4=0的兩個(gè)根，

∴x1+x2=b，x1x2=6

由已知得（x2﹣x1）2=25

又∵（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=b2﹣24

∴b2﹣24=25

解得b=±，當(dāng)b=時(shí)，拋物線與x軸的交點(diǎn)在x軸的正半軸上，不合題意，舍去．

∴b=﹣．

（2）

∵四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)D必在拋物線的對(duì)稱軸上，

又∵y=﹣x2﹣x﹣4=﹣（x+）2+，

∴拋物線的頂點(diǎn)（﹣，）即為所求的點(diǎn)D．

（3）

∵四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣6，0），根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)P必是直線x=﹣3與

拋物線y=﹣x2﹣x﹣4的交點(diǎn)，

∴當(dāng)x=﹣3時(shí)，y=﹣×（﹣3）2﹣×（﹣3）﹣4=4，

∴在拋物線上存在一點(diǎn)P（﹣3，4），使得四邊形BPOH為菱形．

四邊形BPOH不能成為正方形，因?yàn)槿绻�四邊形BPOH為正方形，點(diǎn)P的坐標(biāo)只能是（﹣3，3），但這一點(diǎn)不在拋物線上.

【解析】（1）把A（0，﹣4）代入可求c，運(yùn)用兩根關(guān)系及|x2﹣x1|=5，對(duì)式子合理變形，求b；
（2）因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分，故菱形的另外一條對(duì)角線必在拋物線的對(duì)稱軸上，滿足條件的D點(diǎn)，就是拋物線的頂點(diǎn)；
（3）由四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可，再根據(jù)所求點(diǎn)的坐標(biāo)與線段OB的長(zhǎng)度關(guān)系，判斷是否為正方形即可．