如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6.P是AB邊上的一個動點(異于A、B兩點),精英家教網(wǎng)過點P分別作AC、BC邊的垂線,垂足為M、N.設AP=x.
(1)在△ABC中,AB=
 
;
(2)當x=
 
時,矩形PMCN的周長是14;
(3)是否存在x的值,使得△PAM的面積、△PBN的面積與矩形PMCN的面積同時相等?請說出你的判斷,并加以說明.
分析:(1)利用勾股定理求AB;
(2)利用MP∥BC和NP∥AC,可得到
PM
BC
=
AP
AB
,
PN
AC
=
BP
AB
,將AP=x,AB=10,BC=6,AC=8,BP=10-x
代入式中就能得到PM和PN關于x的表達式.再由矩形周長=2(PM+PN),求出x的值.
(3)當P為AB的中點時,△PAM的面積與△PBN的面積才相等,再求出矩形PMCN的面積,進行判斷.
解答:解:(1)∵△ABC為直角三角形,且AC=8,BC=6,
∴AB=
AC2+BC2
=
82+62
=10


(2)∵PM⊥AC  PN⊥BC
∴MP∥BC   AC∥PN(垂直于同一條直線的兩條直線平行),
PM
BC
=
AP
AB
,
PN
AC
=
BP
AB

∵AP=x,AB=10,BC=6,AC=8,BP=10-x,
∴PM=
BC•AP
AB
=
6
10
x=
3
5
x

PN=
AC•BP
AB
=
8
10
(10-x)=
4(10-x)
5
=8-
4x
5

∴矩形PMCN周長=2(PM+PN)=2(
3
5
x+8-
4
5
x)=14.
∴x=5.

(3)∵PM⊥AC,PN⊥BC,
∴∠AMP=∠PNB=90°,
∴AC∥PN.
∴∠A=∠NPB.
∴△AMP∽△PNB.
∴當P為AB中點,即AP=PB時,△AMP≌△PNB,
此時,S△AMP=S△PNB=
1
2
AM•MP=
1
2
×4×3=6
,
而矩形PMCN面積=PM•MC=3×4=12,
∴不存在能使得△PAM的面積、△PBN的面積與矩形PMCN面積同時相等的x的值.
點評:本題考查了相似三角形性質、面積和矩形面積.
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( 。
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1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

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