Question

【題目】如圖將正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜90°）得到正方形AB′C′D′．

（1）如圖1，B′C′與AC交于點(diǎn)M，C′D′與AD所在直線交于點(diǎn)N，若MN∥B′D′，求α；

（2）如圖2，C′B′與CD交于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)C′B′與BC交于點(diǎn)P，當(dāng)α＝30°時(shí)．

①求∠DAQ的度數(shù)；

②若AB＝6，求PQ的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）α＝22.5°；（2）①30°；②12﹣4．

【解析】

（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、線段的和差可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)正方形的性質(zhì)、角的和差即可得；

（2）①先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，然后根據(jù)角的和差即可得；

②如圖2（見(jiàn)解析），設(shè)，先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、平角的定義得出，又根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)得出，從而可得，，然后根據(jù)線段的和差可求出a的值，從而可得PC的長(zhǎng)，最后在中，利用的余弦值即可得．

（1）如圖1，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：

四邊形是正方形

四邊形是正方形

，，

∴，

∴

∴

∵，

∴，即

∵，

∴

∴

∵

∴

∴

即；

（2）①如圖2，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和題意得：

∵

∴

∴

∵

∴

∴；

②如圖2，連接AP，在AB上取一點(diǎn)E，使得，連接EP

設(shè)

∵，，

∴

∴

∵

∴

∴

∴，

∵

∴

∴，即

∴

在中，，即

解得．