Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，AB=25，點(diǎn)D為斜邊AB上動(dòng)點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，求CD的長(zhǎng)度；

（2）如圖2，當(dāng)AD=AC時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB交BC于點(diǎn)E，求CE的長(zhǎng)度；

（3）如圖3，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接CD，當(dāng)△ACD為等腰三角形時(shí)，直接寫出AD的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)△ACD為等腰三角形時(shí)，AD的長(zhǎng)度為：15或18或.

【解析】

（1）由勾股定理求出BC的長(zhǎng)度，再由面積法求出CD的長(zhǎng)度即可；

（2）連接AE，可證明△ACE≌△ADE，得到CE=DE，設(shè)CE=DE=x，則BE=，由BD=10，則利用勾股定理，求出x，即可得到CE的長(zhǎng)度；

（3）當(dāng)△ACD為等腰三角形時(shí)，可分為三種情況進(jìn)行①AD=AC；②AC=CD；③AD=CD；對(duì)三種情況進(jìn)行計(jì)算，即可得到AD的長(zhǎng)度.

解：（1）如圖，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，AB=25，

∴BC=，

∴，

∴，

解得：；

（2）如圖，連接AE，

∵DE⊥AB，

∴∠ADE=∠C=90°，

在Rt△ADE和Rt△ACE中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△ACE，

∴DE=CE；

設(shè)DE=CE=x，則BE=，又BD=

在Rt△BDE中，由勾股定理，得

，

解得：，

∴；

（3）在Rt△ABC中，有AB=25，AC=15，BC=20，點(diǎn)C到AB的距離為12；

當(dāng)△ACD為等腰三角形時(shí)，可分為三種情況：

①當(dāng)AD=AC時(shí)，AD=15；

②當(dāng)AC=CD時(shí)，如圖，作CE⊥AB于點(diǎn)E，則，

∵CE=12，由勾股定理，得

，

∴；

③當(dāng)AD=CD時(shí)，如圖，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

當(dāng)點(diǎn)D是AB中點(diǎn)時(shí)，有AD=BD=CD，

∴；

綜合上述，當(dāng)△ACD為等腰三角形時(shí)，AD的長(zhǎng)度為：15或18或.