【答案】
分析:(1)根據(jù)圖形,易得點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo);進(jìn)而可得拋物線上三點(diǎn)D、M、N的坐標(biāo),將其代入解析式,求可得解析式;
(2)由(1)的解析式,可得頂點(diǎn)坐標(biāo),即OE、DE的長,易得△BFD∽△EOD,再由EF=FD-DE的關(guān)系代入數(shù)值可得答案;
(3)首先根據(jù)CD的坐標(biāo)求出CD的直線方程,在根據(jù)切線的性質(zhì),可求得P的坐標(biāo),進(jìn)而可得P是否在拋物線上,然后求出三角形BDP的面積,即為三角形BDQ的面積,設(shè)Q的橫坐標(biāo)為x,表示出三角形BDQ的面積,列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到x的值,將x的值代入拋物線解析式求出對應(yīng)y的值,即可確定出Q的坐標(biāo).
解答:![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192337006367235/SYS201311011923370063672035_DA/images0.png)
解:(1)∵圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn),圓O的半徑為1,
∴A(-1,0)、B(0,-1)、C(1,0)、D(0,1),
∵拋物線與直線y=x交于點(diǎn)M、N,且MA、NC分別與圓O相切于點(diǎn)A和點(diǎn)C,
∴M(-1,-1)、N(1,1),
∵點(diǎn)D、M、N在拋物線上,
∴將D(0,1)、M(-1,-1)、N(1,1)的坐標(biāo)代入y=ax
2+bx+c,
得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192337006367235/SYS201311011923370063672035_DA/0.png)
,
解得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192337006367235/SYS201311011923370063672035_DA/1.png)
,
∴拋物線的解析式為y=-x
2+x+1;
(2)∵y=-x
2+x+1=-(x-
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)
2+
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,
∴拋物線的對稱軸為直線x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192337006367235/SYS201311011923370063672035_DA/4.png)
,
∴OE=
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,DE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192337006367235/SYS201311011923370063672035_DA/6.png)
=
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,
連接BF,則∠BFD=90°,
∴△BFD∽△EOD,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192337006367235/SYS201311011923370063672035_DA/8.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192337006367235/SYS201311011923370063672035_DA/9.png)
,
又∵DE=
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,OD=1,DB=2,
∴FD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192337006367235/SYS201311011923370063672035_DA/11.png)
∴EF=FD-DE=
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-
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=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192337006367235/SYS201311011923370063672035_DA/14.png)
;
(3)根據(jù)題意得到點(diǎn)P在拋物線上,理由為:
設(shè)過D、C點(diǎn)的直線為y=kx+b,
將點(diǎn)C(1,0)、D(0,1)的坐標(biāo)代入y=kx+b,得k=-1,b=1,
∴直線DC為y=-x+1,
過點(diǎn)B作圓O的切線BP與x軸平行,P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y=-1,
將y=-1代入y=-x+1,得x=2,
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-1),
當(dāng)x=2時(shí),y=-x
2+x+1=-2
2+2+1=-1,
則P點(diǎn)在拋物線y=-x
2+x+1上;
可得S
△BDP=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192337006367235/SYS201311011923370063672035_DA/15.png)
BP•BD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192337006367235/SYS201311011923370063672035_DA/16.png)
×2×2=2,
由S
△BDP=S
△BDQ,設(shè)Q橫坐標(biāo)為x,
∴S
△BDQ=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192337006367235/SYS201311011923370063672035_DA/17.png)
BD•|x
Q|=2,即|x
Q|=2,
∴x
Q=2或-2,
當(dāng)Q橫坐標(biāo)為2時(shí),與P重合,舍去;當(dāng)Q橫坐標(biāo)為-2時(shí),代入拋物線解析式得:y=-x
2+x+1=-4-2+1=-5,
則Q坐標(biāo)為(-2,-5).
點(diǎn)評:此題考查了二次函數(shù)綜合題,涉及的知識有:待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),切線的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì),第三問判定P在拋物線上是解本題的關(guān)鍵.