Question

如圖，在直角△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8．D、E分別是AC、BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AD-DE-EB以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度向B勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t秒，（t＞0）
（1）當(dāng)t=

4

時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，求△BPQ的面積；
（3）設(shè)△BPQ的面積為S，求出點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）請(qǐng)直接寫出PQ∥DB時(shí)t的值．

Answer 1

分析：（1）由已知和勾股定理先求出BC，再由D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，求出AD、DE、BE，從而求出t；
（2）先求出當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)所用時(shí)間，得出AQ的長(zhǎng)，即可求出BQ的長(zhǎng)，再根據(jù)△BPQ的面積=

1

2

BQ•AP進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）由已知用t表示出AQ、AP、BQ，再由∠A=90°，通過面積公式求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）通過假設(shè)，分兩種情況討論即可求解．

解答：解：（1）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
由勾股定理得：BC=

AB2+AC2

=

62+82

=10，
又由D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，
∴AD=4，DE=3，BE=5，
∴當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)所用時(shí)間t=（4+3+5）÷3=4（秒），
答t的值為4秒．

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，所用時(shí)間為

4

3

秒，
所以AQ=

4

3

×2=

8

3

，
∴BQ=6-

8

3

=

10

3

，
∴△BPQ的面積=

1

2

BQ•AP=

1

2

× 

10

3

×4=

20

3

；

（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AD上（不包含D點(diǎn)），
由已知得：AQ=2t，AP=3t，
∴BQ=AB-AQ=6-2t，
已知∠A=90°，
∴△BPQ的面積S=

1

2

BQ•AP=

1

2

（6-2t）•3t=-3t²+9t，
所以Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=-3t²+9t．
②如圖當(dāng)點(diǎn)P在DE（包括點(diǎn)D、E）上，
過點(diǎn)P作PF⊥AB于F，
則PF=AD=4，
∴△BPQ的面積S=

1

2

BQ•PF=

1

2

（6-2t）•4=12-4t，
所以此時(shí)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=12-4t．
③當(dāng)點(diǎn)P在BE上（不包括E點(diǎn)），
由已知得：BP=3+4+5-3t=12-3t，
過點(diǎn)P作PF⊥AB于F，
∴PF∥AC，
∴△BPF∽△BCA，
∴

PF

AC

=

BP

BC

，
∴

PF

8

=

12-3t

10

，
∴PF=

48-12t

5

，
∴△BPQ的面積S=

1

2

BQ•PF=

1

2

（6-2t）•

48-12t

5

=

12

5

t2-

84

5

t+

144

5

，
所以Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=

12

5

t2-

84

5

t+

144

5

，

（4）若PQ∥DB，則點(diǎn)P、Q必在DB同側(cè)．分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)Q在AB上，點(diǎn)P在AD上時(shí)，
假設(shè)PQ∥DB成立，
則△AQP∽△ABD，
∴

AQ

AB

=

AP

AD

，
∴

2t

6

=

3t

4

，
此時(shí)方程的解是t=0，但此解不符合題意，
則PQ∥DB不成立，
②當(dāng)3＜t＜4時(shí)，點(diǎn)Q在AB延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在EB上，
此時(shí)PB=12-3t，PC=3t-7，BQ=2t-6．
若PQ∥DB，設(shè)直線PQ交DE與N，
∵DE∥AB，
∴△PEN∽△PBQ，
∴EN：BQ=PE：PB，
則EN=

(2t-6((3t-7)

12-3t

；
又∵NQ∥DB，
∴EN：ED=EP：EB，
則EN=

3(3t-7)

5

，
所以

(2t-6((3t-7)

12-3t

=

3(3t-7)

5

，
解得t=

66

19

符合題意．
綜上所述，當(dāng)t=

66

19

時(shí)，PQ∥DB．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理、三角形中位線定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是通過勾股定理三角形中位線定理求解，以及通過假設(shè)推出錯(cuò)誤結(jié)論論證．