Question

已知拋物線y=3x²+2x+n，
（1）若n=-1，求該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把n=-1，y=0代入拋物線解析式，通過(guò)解一元二次方程可求得交點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）分3種情況．第1種：△=0，n=

1

3

；
第2種：把x=-1代入函數(shù)使y大于0，且把x=1代入函數(shù)，使y小于0，解這個(gè)不等式，可得n的取值范圍；
第3種：把x=-1代入函數(shù)使y小于0，且把x=1代入函數(shù)，使y大于0，解這個(gè)不等式組，可得n的取值范圍．
綜合這三個(gè)結(jié)果即可得n的范圍．在2，3種情況下必須保證△大于0．

解答：解：（1）當(dāng)n=-1時(shí)，拋物線為y=3x²+2x-1，
方程3x²+2x-1=0的兩個(gè)根為：x=-1或x=

1

3

．
∴該拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，0）和（

1

3

，0）；（2分）
（2）∵拋物線與x軸有公共點(diǎn)，
∴對(duì)于方程3x²+2x+n=0，判別式△=4-12n≥0，
∴n≤

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3

．（3分）
①當(dāng)n=

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3

時(shí)，由方程3x²+2x+

1

3

=0，解得x₁=x₂=-

1

3

．此時(shí)拋物線為y=3x²+2x+

1

3

與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)（-

1

3

，0）；（4分）
②當(dāng)n＜

1

3

時(shí)，
x₁=-1時(shí)，y₁=3-2+n=1+n；
x₂=1時(shí)，y₂=3+2+n=5+n；
由已知-1＜x＜1時(shí)，該拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，考慮其對(duì)稱(chēng)軸為x=-

1

3

，
應(yīng)有y₁≤0，且y₂＞0即1+n≤0，且5+n＞0．（5分）
解得：-5＜n≤-1．（6分）
綜合①，②得n的取值范圍是：n=

1

3

或-5＜n≤-1．（7分）

點(diǎn)評(píng)：考查二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判斷．