如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A(10,0),以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C,點B是該半圓周上的一動點,連結(jié)OB、AB,并延長AB至點D,使DB=AB,過點D作x軸垂線,分別交x軸、直線OB于點E、F,點E為垂足,連結(jié)CF.

(1)當(dāng)∠AOB=30°時,求弧AB的長;

(2)當(dāng)DE=8時,求線段EF的長;

(3)在點B運動過程中,是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似,若存在,請求出此時點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

 

【答案】

;3;存在

【解析】

試題分析:(1)連結(jié)BC,  

∵A(10,0),∴OA=10,CA=5,

∵∠AOB=30°,

∴∠ACB="2∠AOB=60°,"

∴弧AB的長=;……4分

(2)連結(jié)OD,

∵OA是⊙C直徑,∴∠OBA=90°,

又∵AB=BD,

∴OB是AD的垂直平分線,

∴OD=OA=10,

在Rt△ODE中,

OE=,

∴AE=AO-OE=10-6=4,

由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA,

得△OEF∽△DEA,

,即,∴EF=3;……8分

(3)設(shè)OE=x,

①當(dāng)交點E在O,C之間時,由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,當(dāng)∠ECF=∠BOA時,此時△OCF為等腰三角形,點E為OC中點,即OE=

∴E1(,0);

當(dāng)∠ECF=∠OAB時,有CE=5-x,AE=10-x,

∴CF∥AB,有CF=,

∵△ECF∽△EAD,

,即,解得:,

∴E2(,0);

②當(dāng)交點E在點C的右側(cè)時,

∵∠ECF>∠BOA,

∴要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,

連結(jié)BE,

∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線,

∴BE=AB=BD,

∴∠BEA=∠BAO,

∴∠BEA=∠ECF,

∴CF∥BE,∴,

∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,

∴△CEF∽△AED,∴,

而AD=2BE,∴,

,解得,<0(舍去),

∴E3(,0);

③當(dāng)交點E在點O的左側(cè)時,

∵∠BOA=∠EOF>∠ECF.

∴要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO

連結(jié)BE,得BE==AB,∠BEA=∠BAO

∴∠ECF=∠BEA,

∴CF∥BE,

,

又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,

∴△CEF∽△AED,∴,

而AD=2BE,∴,

,解得,<0(舍去),

∵點E在x軸負(fù)半軸上,∴E4(,0),

綜上所述:存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似,此時點E坐標(biāo)為:

,0)、,0)、,0)、,0).(12分)

考點:相似三角形的性質(zhì)

點評:解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì):相似三角形的對應(yīng)邊成比例,注意對應(yīng)字母在對應(yīng)位置上.

 

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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點P為x軸上的一個動點,但是點P不與點0、點A重合.連接CP,D點是線段AB上一點,連接PD.
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標(biāo).

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5
29
5
29

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5
5

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k
x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( �。�

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(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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