如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A(10,0),以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C,點B是該半圓周上的一動點,連結(jié)OB、AB,并延長AB至點D,使DB=AB,過點D作x軸垂線,分別交x軸、直線OB于點E、F,點E為垂足,連結(jié)CF.
(1)當(dāng)∠AOB=30°時,求弧AB的長;
(2)當(dāng)DE=8時,求線段EF的長;
(3)在點B運動過程中,是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似,若存在,請求出此時點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
;3;存在
【解析】
試題分析:(1)連結(jié)BC,
∵A(10,0),∴OA=10,CA=5,
∵∠AOB=30°,
∴∠ACB="2∠AOB=60°,"
∴弧AB的長=;……4分
(2)連結(jié)OD,
∵OA是⊙C直徑,∴∠OBA=90°,
又∵AB=BD,
∴OB是AD的垂直平分線,
∴OD=OA=10,
在Rt△ODE中,
OE=,
∴AE=AO-OE=10-6=4,
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA,
得△OEF∽△DEA,
∴,即
,∴EF=3;……8分
(3)設(shè)OE=x,
①當(dāng)交點E在O,C之間時,由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,當(dāng)∠ECF=∠BOA時,此時△OCF為等腰三角形,點E為OC中點,即OE=,
∴E1(,0);
當(dāng)∠ECF=∠OAB時,有CE=5-x,AE=10-x,
∴CF∥AB,有CF=,
∵△ECF∽△EAD,
∴,即
,解得:
,
∴E2(,0);
②當(dāng)交點E在點C的右側(cè)時,
∵∠ECF>∠BOA,
∴要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,
連結(jié)BE,
∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線,
∴BE=AB=BD,
∴∠BEA=∠BAO,
∴∠BEA=∠ECF,
∴CF∥BE,∴,
∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,
∴△CEF∽△AED,∴,
而AD=2BE,∴,
即,解得
,
<0(舍去),
∴E3(,0);
③當(dāng)交點E在點O的左側(cè)時,
∵∠BOA=∠EOF>∠ECF.
∴要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO
連結(jié)BE,得BE==AB,∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA,
∴CF∥BE,
∴,
又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,
∴△CEF∽△AED,∴,
而AD=2BE,∴,
∴,解得
,
<0(舍去),
∵點E在x軸負(fù)半軸上,∴E4(,0),
綜上所述:存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似,此時點E坐標(biāo)為:
(
,0)、
(
,0)、
(
,0)、
(
,0).(12分)
考點:相似三角形的性質(zhì)
點評:解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì):相似三角形的對應(yīng)邊成比例,注意對應(yīng)字母在對應(yīng)位置上.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
BD |
AB |
5 |
8 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
5 |
29 |
5 |
29 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
k |
x |
k |
x |
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