【題目】已知:如圖,在平行四邊形ABDC中,∠ABC的平分線交AD于點E,過點A作BE的垂線交BE于點F,交BC于點G,連接EG,CF.

(1)求證:四邊形AEGE是菱形;
(2)若∠ABC=60°,AB=4,AD=5,求CF的長.

【答案】
(1)

證明:∵BE平分∠ABC,

∴∠ABE=∠CBE,

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥BC且AD=BC,

∴∠CBE=∠AEB,

∴∠ABE=∠AEB=∠CBE,∴AB=AE,

∵AF⊥BE,

∴∠AFB=∠GFB=90°,

在△ABF和△GBF中, ,

∴△ABF≌△GBF(ASA),

∴AB=GB,

∴AE=GB,

又∵AD∥BC,

∴四邊形ABGE是平行四邊形,

又∵AB=GB,

∴四邊形ABGE是菱形;


(2)

解:過點F作FM⊥BC于點M,如圖所示:

∵四邊形ABGE是菱形,

∴∠GBE= ∠ABC=30°,BG=AB=4,BC=AD=5,

在Rt△BFG中,BF=cos∠GBF×BG=cos30°×4= ×4=2

在Rt△BFM中,F(xiàn)M= BF= ×2 = ,

BM=cos∠GBF×BF=cos30°×BF= ×2 =3,

∴CM=BC﹣BM=5﹣3=2,

∴Rt△FMC中,CF= = =


【解析】(1)先證明AB=AE,由ASA證明△ABF≌△GBF,得出AB=GB,因此AE=GB,證出四邊形ABGE是平行四邊形,即可得出結(jié)論;(2)過點F作FM⊥BC于點M,由菱形的性質(zhì)得出∠GBE= ∠ABC=30°,BG=AB=4,BC=AD=5,在Rt△BFG中,由三角函數(shù)求出BF=2 ,在Rt△BFM中,求出FM= ,再求出BM=3,得出CM=BC﹣BM=5﹣3=2,Rt△FMC中,由勾股定理即可得出CF的長.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分.

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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,BAD=α,BCD=180°﹣α,BD平分ABC.

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A0,4),點B軸正半軸上的整點,記△AOB內(nèi)部(不包括邊界)的整點個數(shù)為m.當m=3時,點B的橫坐標的所有可能值是 ;當點B的橫坐標為4nn為正整數(shù))時,m= (用含n的代數(shù)式表示.)

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【題目】隨著“中國詩詞大會”節(jié)目的熱播,《唐詩宋詞精選》一書也隨之熱銷.如果一次性購買10本以上,超過10本的那部分書的價格將打折,并依此得到付款金額y(單位:元)與一次性購買該書的數(shù)量x(單位:本)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,則下列結(jié)論錯誤的是(
A.一次性購買數(shù)量不超過10本時,銷售價格為20元/本
B.a=520
C.一次性購買10本以上時,超過10本的那部分書的價格打八折
D.一次性購買20本比分兩次購買且每次購買10本少花80元

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【題目】如圖,在等邊三角形ABC中,點D、點E分別為AB,AC上的點,BE與CD相交于點F,BF=4EF=4,CE=AD.則SAEB=

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(1)如圖l,求拋物線的解析式;

(2)如圖2,點P為第一象限拋物線上一點,連接PC、PA,PA交y軸于點F,設(shè)點P的橫坐標為t,△CPF的面積為S.求S與t的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量t的取值范圍);

(3)如圖3,在(2)的條件下,連接BC,過點P作PD∥y軸變BC于點D,點H為AF中點,且點N(0,1),連接NH、BH,將∠NHB繞點H逆時針旋轉(zhuǎn),使角的一條邊H落在射線HF上,另一條邊HN變拋物線于點Q,當BH=BD時,求點Q坐標.

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(2)求當點M、N重合時,它們運動的時間;

(3)M、N在運動的過程中是否存在某一時刻,使BM=2BN.若存在請求出它們運動的時間,若不存在請說明理由.

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A.1
B.2
C.3
D.6

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A.6π
B.18
C.18π
D.20

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