Question

如圖，在平面直角坐標系中，點C（-3，0），點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且滿足（OB-）²+=0．
（1）求點A、B的坐標；
（2）若點P從點C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連接AP．設(shè)△ABP的面積為S，點P的運動時間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，是否存在點P，使以點A、B、P為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，直接寫出點P坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵（OB-）²+=0，
∴OB²-3=0，OA-1=0．
∴OB=，OA=1，
點A，點B分別在x軸，y軸的正半軸上，
∴A（1，0），B（0，）；

（2）由（1），得AC=4，
由關(guān)勾股定理得：
AB==2，BC==2，
∴AB²+BC²=2²+（2）²=16，
∵AC²=16，
∴AB²+BC²=AC²=16，
∴△ABC為直角三角形，∠ABC=90°．
設(shè)CP=t，過P作PQ⊥CA于Q，連接PA，
由△CPQ∽△CBO，
∴OB：BC=PQ：PC=1：2，
PQ=，
∴當點P在線段CB上時，S=S_△ABC-S_△APC=×4×-×4×=2-t（（0≤t＜2），
當點P在射線CB上時，S=S_△APC-S_△ABC=×4×-×4×=t-2（（t≥2）；

（3）存在，滿足條件的有四個．
P₁（-3，0），P₂（-1，），P₃（3，2），P₄（1，）．
分析：（1）根據(jù)條件（OB-）²+=0，可求得OB=，OA=1，根據(jù)圖象可知A（1，0），B（0，）；
（2）在直角三角形中的勾股定理和動點運動的時間和速度分別把相關(guān)的線段表示出來，設(shè)CP=t，過P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ=，S=S_△ABC-S_△APC=2-t；
（3）由于∠ABP=∠AOB=90°，所以分兩種情況討論：①△ABP∽△AOB；②△ABP∽△BOA．可知滿足條件的有四個．
點評：本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定，勾股定理和直角三角形的判定等知識點．利用非負數(shù)的性質(zhì)求算出線段的長度是解題的關(guān)鍵之一．要會熟練地運用這些性質(zhì)解題．