Question

25、如圖，已知：BC、AD相交于O點，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD．求證：（1）AD=BC；（2）AO=BO．

Answer 1

分析：（1）因為AC⊥BC，BD⊥AD，可得△ACB和△BDA是直角三角形，條件AC=BD和公共邊AB．用HL可判定以上兩個三角形全等，問題得證；
（2）要證明AO=BO，就要證明三角形AOC和BOD全等．在三角形AOC和BOD中，已知的條件有對頂角∠AOC=∠BOD，有垂直得∠C=∠D=90°，所以可判定Rt△COA≌Rt△DOB，問題得證．

解答：證明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C=∠D=90°，
∵AC=BD，AB=BA，
∴Rt△ACB≌△Rt△BDA．
∴AD=BC．
（2）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C=∠D=90°，
∵∠AOC=∠BOD，AC=BD，
∴Rt△COA≌Rt△DOB．
∴AO=BO．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質，常用的判定方法為：SAS，SSS，AAS，ASA．常用到的性質是：對應角相等，對應邊相等．在證明中還要注意圖形中隱藏條件的挖掘如：本題中的對頂角和公共邊．