Question

【題目】已知拋物線y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A、B
（1）求m的取值范圍；
（2）證明該拋物線一定經(jīng)過(guò)非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng) ＜m≤8時(shí)，由（2）求出的點(diǎn)P和點(diǎn)A，B構(gòu)成的△ABP的面積是否有最值？若有，求出該最值及相對(duì)應(yīng)的m值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，不符合題意，舍去；

當(dāng)m≠0時(shí)，

∵拋物線y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A、B，

∴△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，

∴1﹣4m≠0，

∴m≠ ，

∴m的取值范圍為m≠0且m≠ ；

（2）

證明：∵拋物線y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m，

∴y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，

拋物線過(guò)定點(diǎn)說(shuō)明在這一點(diǎn)y與m無(wú)關(guān)，

顯然當(dāng)x2﹣2x﹣3=0時(shí)，y與m無(wú)關(guān)，

解得：x=3或x=﹣1，

當(dāng)x=3時(shí)，y=4，定點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）；

當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=0，定點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），

∵P不在坐標(biāo)軸上，

∴P（3，4）；

（3）

解：|AB|=|xA﹣xB|= = = = =| |=| ﹣4|，

∵ ＜m≤8，

∴ ≤ ＜4，

∴﹣ ≤ ﹣4＜0，

∴0＜| ﹣4|≤ ，

∴|AB|最大時(shí)，| ﹣4|= ，

解得：m=8，或m= （舍去），

∴當(dāng)m=8時(shí)，|AB|有最大值 ，

此時(shí)△ABP的面積最大，沒(méi)有最小值，

則面積最大為： |AB|yP= × ×4= ．

【解析】（1）根據(jù)題意得出△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，得出1﹣4m≠0，解不等式即可；（2）y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，故只要x2﹣2x﹣3=0，那么y的值便與m無(wú)關(guān)，解得x=3或x=﹣1（舍去，此時(shí)y=0，在坐標(biāo)軸上），故定點(diǎn)為（3，4）；（3）由|AB|=|xA﹣xB|得出|AB|=| ﹣4|，由已知條件得出 ≤ ＜4，得出0＜| ﹣4|≤ ，因此|AB|最大時(shí)，| |= ，解方程得出m=8，或m= （舍去），即可得出結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．)．