已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,CD⊥AB于點(diǎn)D,以D為坐標(biāo)精英家教網(wǎng)原點(diǎn),CD所在直線為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.
(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若⊙O1,⊙O2分別為△ACD,△BCD的內(nèi)切圓,求直線O1O2的解析式;
(3)若直線O1O2分別交AC,BC于點(diǎn)M,N,判斷CM與CN的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
分析:(1)根據(jù)題意先證明△ADC∽△ACB,所以AC2=AD•AB,求得AD的長,同理DB,CD,從而求出A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)⊙O1的半徑為r1,⊙O2的半徑為r2,根據(jù)面積公式可知S△ADC,從而得到r1,r2,由此可求得直線O1O2的解析式;
(3)由(1)易得直線AC的解析式,聯(lián)立直線O1O2的解析式,求得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為,過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E,由Rt△CME∽Rt△CAD得出比例關(guān)系,解得CM的長,同理得CN的長,再判斷CM與CN的大小關(guān)系.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)在Rt△ABC中,CD⊥AB
∴△ADC∽△ACB,∴AC2=AD•AB,
∴AD=
16
5
;
同理DB=
9
5
,CD=
12
5
,
∴A(-
16
5
,0),B(
9
5
,0),C(0,
12
5


(2)設(shè)⊙O1的半徑為r1,⊙O2的半徑為r2,
則有S△ADC=
1
2
AD•CD=
1
2
(AD+CD+AC)r1
r1=
AD•CD
AD+CD+AC
=
4
5
,同理r2=
3
5
;
O1(-
4
5
,
4
5
),O2(
3
5
,
3
5
)

由此可求得直線O1O2的解析式為:y=-
1
7
x+
24
35
;

(3)CM與CN的大小關(guān)系是相等.
證明如下:法一:由(1)易得直線AC的解析式為:y=
3
4
x+
12
5

聯(lián)立直線O1O2的解析式,求得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM=
24
25
,
過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E,
∴CE=CD-DE=
36
25
;由Rt△CME∽Rt△CAD,得
CE
CD
=
CM
CA
,
解得:CM=
12
5
,同理CN=
12
5
,∴CM=CN;
法二:∵⊙O1,⊙O2分別為△ACD,△BCD的內(nèi)切圓,
∴∠O1DE=∠O2DE=
1
2
×90°=45°,
∴∠O1DO2=90°,
∴∠O1DO2=∠ACB
∵△ACD∽△CBD,⊙O1,⊙O2分別為△ACD,△BCD的內(nèi)切圓,
DO1
DO2
=
AC
BC

∴Rt△O1O2D∽Rt△ABC,精英家教網(wǎng)
∴∠O2O1D=∠BAC,
由此可推理:∠CMN=∠O1DA=45°,
∴∠CNM=45°,∴CM=CN.
點(diǎn)評:主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是會靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度,再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解.
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15
,b=
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C、
5
cm
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6.5
6.5
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(1)試畫出Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2,并寫出A1,B1,C1,A2,B2,C2的坐標(biāo);
(2)請判斷Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2是否關(guān)于某點(diǎn)M中心對稱?若是,請寫出M點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請說明理由.

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