Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y1=

k

x

的圖象上一點(diǎn)，AB⊥x軸的正半軸于B點(diǎn)，C是OB的中點(diǎn)；一次函數(shù)y₂=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，并將y軸于點(diǎn)D（O，-1）若S_△AOD=4．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）觀察圖象，請(qǐng)指出在y軸的右側(cè)，當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的面積求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的長(zhǎng)度，再根據(jù)點(diǎn)C是OB的中點(diǎn)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再代入求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象寫(xiě)出反比例函數(shù)在一次函數(shù)圖象上方部分的x的取值范圍即可．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，
∵D（0，-1），
∴OD=1，
∴S_△AOD=

1

2

×1•x=4，
解得x=8，
∵AB⊥x軸的正半軸于B點(diǎn)，C是OB的中點(diǎn)，
∴OC=

1

2

×8=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），
把點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入直線解析式得，

b=-1 4a+b=0

，
解得

a= 1 4 b=-1

，
∴一次函數(shù)的解析式為y=

1

4

x-1，
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為8，
∴y=

1

4

×8-1=2-1=1，
∴點(diǎn)A（8，1），
∴

k

8

=1，
解得k=8，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

8

x

；

（2）由圖可知，y₁＞y₂時(shí)，x的取值范圍是0＜x＜8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)三角形的面積和線段中點(diǎn)的定義求出OC的長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是常用的方法，需熟練掌握并靈活運(yùn)用．