Question

如圖，已知四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足為E．
（1）求證：BD=AD+DE；
（2）若∠DBC=50°，求∠DCE的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明：過D作DF⊥BC，
又∵CE⊥BD，
∴∠2=∠1=90°，
∵BC=BD，
∴∠3=∠4，
在△DEC和△CFD中，
，
∴△DEC≌△CFD（AAS），
∴ED=FC，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠ADF=90°，
∵∠A=90°，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴AD=BF，
∴DB=BF+CF=AD+DE．

（2）解：∵DB=CB，∠DBC=50°，
∴∠3=∠4=（180°-∠DBC）÷2=65°，
∵∠BEC=90°，
∴∠ECB=90°-50°=40°，
∴∠DCE=65°-40°=25°．
分析：（1）過D作DF⊥BC，可證明四邊形ABFD是矩形，得到AD=BF，然后再證明△DEC≌△CFD可得ED=FC，再利用等量代換可得結論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算出∠BCD，然后再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算出∠ECB，再利用角之間的和差關系可得答案．
點評：此題主要考查了梯形，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關鍵是正確做出輔助線，得到矩形ABFD．