Question

四邊形ABCD內接于圓，已知∠ADC=90°，CD=4，AC=8，AB=BC．設O是AC的中點．
（1）設P是AB上的動點，求OP+PC的最小值；
（2）設Q，R分別是AB，AD上的動點，求△CQR的周長的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求OP+PC的最小值，OP、PC不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化OP、PC的值，從而找出其最小值求解；
（2）作C關于AB的對稱點G，關于AD的對稱點F，可得三角形CQR的周長=CQ+QR+CR=GQ+QR+RF≥GF．根據(jù)圓周角定理可得∠CDB=∠CAB=45°，∠CBD=∠CAD=30°，由于GF=2BD，在三角形CBD中，作CH⊥BD于H，可求BD的長，從而求出△CQR的周長的最小值．
解答：解：（1）設C關于AB的對稱點為E，連接OE交AB于P．
則此時OP+PC為最小，OP+PC的最小值為OP+PC=OE==4；

（2）作C關于AB的對稱點G，關于AD的對稱點F
則三角形CQR的周長=CQ+QR+CR=GQ+QR+RF≥GF
而GF=2BD
∠CDB=∠CAB=45°
∠CBD=∠CAD=30°
在三角形CBD中，作CH⊥BD于H，
BD=DH+BH
=
=
GF=
△CQR的周長的最小值為．
點評：本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應相等．也考查了兩點之間線段最短和圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半以及含30度角的直角三角形三邊的關系．