Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中 ,AB=4，BC=8，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，P、Q為BC邊上兩個動點(diǎn)，且PQ=2，當(dāng)四邊形APQE周長最小時，BP的長為（ ）

A. 1 B. 2 C. 2 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】要使四邊形APQE的周長最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．為此，先在BC邊上確定點(diǎn)P、Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，則此時AP+EQ=EG最小，然后過G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長線于H點(diǎn)，那么先證明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的長度．

如圖，在AD上截取線段AF=DE=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長線于H點(diǎn)．

∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，

∴∠GEH=45°．

設(shè)BP=x，則CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，

在△CQE中，

∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，

∴CQ=EC，

∴6-x=2，

解得x=4．

故選D.