Question

【題目】如圖，△ABC是半徑為2的⊙O的內(nèi)接三角形，連接OA、OB，點(diǎn)D、E、F、G分別是CA、OA、OB、CB的中點(diǎn)．

（1）試判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由；

（2）填空：

①若AB=3，當(dāng)CA=CB時，四邊形DEFG的面積是　 　；

②若AB=2，當(dāng)∠CAB的度數(shù)為　 　時，四邊形DEFG是正方形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①；②75°或15°．

【解析】

（1）只要證明DG=EF，DG∥EF即可解決問題；

（2）①只要證明四邊形DEFG是矩形即可解決問題；

②分點(diǎn)C在優(yōu)弧AB或劣弧AB上兩種情況討論即可.

解：（1）四邊形DEFG是平行四邊形．

∵點(diǎn)D、E、F、G分別是CA、OA、OB、CB的中點(diǎn)，

∴DG∥AB，DG=AB，EF∥AB，EF=AB，

∴DG∥EF，DG=EF，

∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）①連接OC，

∵CA=CB，

∴，

∴DG⊥OC，

∵AD=DC，AE=EO，

∴DE∥OC，DE=OC=1，同理EF=AB=，

∴DE⊥DG，

∴四邊形DEFG是矩形，

∴四邊形DEFG的面積=．

故答案為；

②∵OA=OB=AB=2，

∴△AOB為等邊三角形，

由①可得：當(dāng)C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時，四邊形DEFG是正方形，此時∠C=∠AOB=30°，則∠CAB=75°；

當(dāng)C是劣弧AB的中點(diǎn)時，四邊形DEFG是正方形，此時∠C=(360°﹣∠AOB)=150°，則∠CAB=15°；

故答案為75°或15°．