Question

已知：在四邊形ABCD中，∠BAD=60°，AB=AD，AC=20．
（1）若∠B=∠D=90°，如圖1，則四邊形ABCD的面積是

100

3

．
（2）若∠B+∠D=180°，如圖2，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）由于∠B=∠D=90，AB=AD，AC為公共邊，利用“HL”可證明Rt△ABC≌Rt△ADC，則∠BAC=∠DAC=30°，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC=

1

2

AC=10，AB=

3

BC=10

3

，然后根據(jù)
S_{四邊形ABCD}=2S_△ABC進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）由于∠BAD=60°，AB=AD，則可把△ADC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABC′=∠D，AC′=AC，∠C′AC=60°，而∠ABC+∠D=180°，則∠ABC+∠ABC′=180°，
得到C′點(diǎn)在CB的延長(zhǎng)線上，所以△ACC′為等邊三角形，然后利用S_{四邊形ABCD}=S_△AC′C=

3

4

AC²進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵∠B=∠D=90°
在RtABC和Rt△ADC中，

AB=AD AC=AC

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠BAC=∠DAC，
而∠BAD=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC=

1

2

AC=10，AB=

3

BC=10

3

，
∴S_{四邊形ABCD}=2S_△ABC=2×

1

2

×10×10

3

=100

3

．
故答案為100

3

；

（2）如圖，∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴把△ADC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABC′，
∴∠ABC′=∠D，AC′=AC，∠C′AC=60°
∵∠ABC+∠D=180°，
∴∠ABC+∠ABC′=180°，
∴C′點(diǎn)在CB的延長(zhǎng)線上，
而AC′=AC，∠C′AC=60°，
∴△ACC′為等邊三角形，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△AC′C=

3

4

AC²=

3

4

×400=100

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了含30°的直角三角形三邊的關(guān)系與等邊三角形的性質(zhì)．