Question

如圖，已知拋物線與坐標軸分別交于A(-2，O)、B(2，0)、C(0，-l)三點，過坐標原點0的直線y=kx與拋物線交于M、N兩點．分別過點C,D(0，-2)作平行于x軸的直線．

    (1)求拋物線對應二次函數(shù)的解析式；

    (2)求證以ON為直徑的圓與直線相切；

    (3)求線段MN的長(用k表示)，并證明M、N兩點到直線的距離之和等于線段MN的長．

Answer 1

    解：(1)設拋物線對應二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，

由  解得

 所以．………………………………………………………3分

    (2)設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，因為點M、N在拋物線上，

    所以，所以x₂²=4(y₂+1)；

    又ON²=x₂²+y₂²=4(y₂+1)+y₂²=(y₂+2)²，所以ON=，又因為y₂≥-l，

     所以0N=2+y₂．………………………………………5分

    設ON的中點E，分別過點N、E向直線作垂線，垂足為P、F，

    則 ，

    所以ON=2EF，

    即ON的中點到直線，的距離等于0N長度的一半，

    所以以ON為直徑的圓與相切．………………………………………7分

(3)過點M作MH⊥NP交NP于點H，則MN²=MH²+NH²=(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)，

又y₁=kx₁,y₂=kx₂，所以（y₂-y₁)²=k²(x₂-x₁)²

所以MN²=(1+k²)(x₂一x_l)²；

又因為點M、N既在y=kx的圖象上又在拋物線上，

所以，即x²-4kx-4=0，

所以，

所以(x₂-x₁)²=16(1+k²)，

所以MN²=16(1+k²)²，∴MN=4(1+k²)…9分

延長NP交于點Q，過點M作MS⊥交于點S，

則MS+NQ=y₁+2+y₂+2=

    又x₁²+x₂²=2[4k²+4(1+k²)]=16k²+8，

    所以MS+NQ=4k²+2+2=4(1+k²)=MN

    即M、N兩點到距離之和等于線段MN的長．……………………ll分