Question

20．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上的點(diǎn)，PA垂直x軸于點(diǎn)A，連接PB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若M（a，b）是該反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且滿足∠MBA＜∠ABC，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)PA∥BO以及OA=OC可得出OB為△CPA的中位線，從而找出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出k值，從而得出結(jié)論；
（2）分點(diǎn)M在函數(shù)圖象的象限不同來(lái)考慮：①M(fèi)在第四象限時(shí)，延長(zhǎng)PC交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)E，由點(diǎn)B的坐標(biāo)設(shè)出直線PC的解析式，根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可得出直線PC的解析式，聯(lián)立直線與反比例函數(shù)解析式成方程組求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)即可得出結(jié)論；②點(diǎn)M在第二象限時(shí)，作C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接BC′交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)F，連接CC′交AB于點(diǎn)D，根據(jù)三角形相似找出點(diǎn)D坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)C′的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC′的解析式，聯(lián)立直線與反比例函數(shù)解析式成方程組求出交點(diǎn)F（兩交點(diǎn)中右邊的那個(gè)點(diǎn)）的橫坐標(biāo)即可得出結(jié)論．綜上此題得解．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），
∴OC=OA，
∵PA⊥x軸，
∴PA∥OB，
∴OB為△CPA的中位線，
∵點(diǎn)B（0，2），
∴PA=2OB=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，4），
∵點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上的點(diǎn)，
∴k=-1×4=-4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{4}{x}$．
（2）分點(diǎn)M在函數(shù)圖象的象限不同來(lái)考慮：
①M(fèi)在第四象限時(shí)，延長(zhǎng)PC交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)E，如圖1所示．
設(shè)直線PC的解析式為y=kx+2，
則4=-k+2，解得：k=-2，
∴直線PC的解析式為y=-2x+2．
聯(lián)立直線PC與反比例函數(shù)解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+2}\\{y=-\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)E（2，-2），
∴0＜a＜2；
②點(diǎn)M在第二象限時(shí)，作C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接BC′交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)F，連接CC′交AB于點(diǎn)D，如圖2所示．
∵CD⊥AB，BO⊥AC，
∴△CAD∽△BAO，
∴$\frac{AD}{AO}=\frac{AC}{AB}$．
∵點(diǎn)A（-1，0），C（1，0），B（0，2），
∴AC=2，AB=$\sqrt{5}$，AO=1，
∴AD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴點(diǎn)D（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），
∵點(diǎn)D為線段CC′的中點(diǎn)，C（1，0），
∴C′（-$\frac{11}{5}$，$\frac{8}{5}$）．
設(shè)直線BC′的解析式為y=mx+2，
則$\frac{8}{5}$=-$\frac{11}{5}$m+2，解得：m=$\frac{2}{11}$，
∴直線BC′的解析式為y=$\frac{2}{11}$x+2．
聯(lián)立BC′與反比例函數(shù)解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{11}x+2}\\{y=-\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
解得：x₁=$\frac{-11-\sqrt{33}}{2}$，x₂=$\frac{-11+\sqrt{33}}{2}$，
∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為$\frac{-11+\sqrt{33}}{2}$，
∴a＜$\frac{-11+\sqrt{33}}{2}$．
綜上得：若M（a，b）是該反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且滿足∠MBA＜∠ABC，則a的取值范圍為a＜$\frac{-11+\sqrt{33}}{2}$或0＜a＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形中位線的性質(zhì)以及解方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）分點(diǎn)M的象限不同分情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，由點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)待定系數(shù)法找出直線的解析式，再聯(lián)立直線與反比例函數(shù)解析式成方程組，通過(guò)解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．