Question

如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB=CD．
（1）求證：AC=BD
（2）若OF⊥CD于F，OG⊥AB于G，問：四邊形OFEG是何特殊四邊形？并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵AB=CD，
∴=
∴-=-，即=
∴AC=BD
（2）四邊形OFEG是正方形．
理由：連接OA、OD．
∵AB⊥CD，OF⊥CD，OG⊥AB，
∴四邊形OFEG是矩形；
∵OF⊥CD，OG⊥AB，
∴DF=CD，AG=AB，
∵AB=CD，∴DF=AG；
∵OD=OA，
∴Rt△OFD≌Rt△OGA （HL）
∴OF=OG，
∴矩形OFEG是正方形．
分析：（1）根據(jù)已知條件AB=CD可以推知=，然后由圖可以知-=-，即=；由圓心角、弧、弦間的關(guān)系可以證得AC=BD；
（2）連接OA、OD．首先根據(jù)矩形的判定定理可以推知四邊形OFEG是矩形；然后由已知條件AB=CD、垂徑定理推知DF=AG，再由圓的半徑OA=OD可以證得Rt△OFD≌Rt△OGA （HL），由全等三角形的對應(yīng)邊相等可以證得OF=OG；最后根據(jù)正方形的判定定理可知矩形OFEG是正方形．
點評：本題考查了垂徑定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、弧與弦的關(guān)系以及正方形的判定．在解答（2）時，利用了“鄰邊相等的矩形是正方形”．