Question

如圖1，直線AB上有一點(diǎn)P，點(diǎn)M、N分別為線段PA、PB的中點(diǎn)，AB=14．
（1）若點(diǎn)P在線段AB上，且AP=8，求線段MN的長(zhǎng)度；
（2）若點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)，試說(shuō)明線段MN的長(zhǎng)度與點(diǎn)P在直線AB上的位置無(wú)關(guān)；
（3）如圖2，若點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，下列結(jié)論：①

PA-PB

PC

的值不變；②

PA+PB

PC

的值不變，請(qǐng)選擇一個(gè)正確的結(jié)論并求其值．

Answer 1

分析：（1）求出MP，NP的長(zhǎng)度，即可得出MN的長(zhǎng)度；
（2）分三種情況：①點(diǎn)P在AB之間；②點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上；③點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，分別表示出MN的長(zhǎng)度即可作出判斷；
（3）設(shè)AC=BC=x，PB=y，分別表示出①、②的值，繼而可作出判斷．

解答：解：（1）∵AP=8，點(diǎn)M是AP中點(diǎn)，
∴MP=

1

2

AP=4，
∴BP=AB-AP=6，
又∵點(diǎn)N是PB中點(diǎn)，
∴PN=

1

2

PB=3，
∴MN=MP+PN=7．

（2）①點(diǎn)P在AB之間；②點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上；③點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，均有MN=

1

2

AB=7．

（3）選擇②．
設(shè)AC=BC=x，PB=y，
①

PA-PB

PC

=

AB

x+y

=

14

x+y

（在變化）；
②

PA+PB

PC

=

2x+2y

x+y

=2（定值）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩點(diǎn)間的距離，解答本題注意分類討論思想的運(yùn)用，理解線段中點(diǎn)的定義，難度一般．