Question

定義：弦切角：頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角．
問題情景：已知如圖所示，直線AB是⊙O的切線，切點為C，CD為⊙O的一條弦，∠P為弧CD所對的圓周角．
（1）猜想：弦切角∠DCB與∠P之間的關系．試用轉化的思想：即連接CO并延長交⊙O于點E，連接DE，來論證你的猜想．
（2）用自己的語言敘述你猜想得到的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CO并延長交圓于E，連接DE，根據直徑所對的圓周角是直角，可以得到∠E+∠DCE=90°；再根據AB是切線可以得到∠DCE+DCB=90°，所以∠DCB=∠E，最后根據等弧所對的圓周角相等就可以的得到所要的結論．
（2）能說清弦切角與圓周角的關系即可．
解答：（1）∠DCB=∠P；
證明：∵CE是⊙O的直徑，
∴∠DCE+∠E=∠EDC=90°；
又∵AB是⊙O的切線，
∴∠DCE+∠DCB=90°，
∴∠DCB=∠E；
又∵∠E=∠P，
∴∠DCB=∠P．

（2）弦切角等于其兩邊所夾弧對的圓周角．
（或弦切角的度數等于其兩邊所夾弧度數的一半．）
點評：此題綜合運用了切線的性質、等角的余角相等以及圓周角定理的推論．