如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=10cm,P為BC的中點(diǎn),動點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā),沿射線PC方向以
3
cm/s的速度運(yùn)動,以P為圓心,PQ長為半徑作圓.設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動的時間為ts.
(1)當(dāng)t=2.5s時,判斷直線AB與⊙P的位置關(guān)系,并說明理由.
(2)已知⊙O為Rt△ABC的外接圓,若⊙P與⊙O相切,求t的值.
分析:(1)作PH⊥AB于H點(diǎn),根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AB=2AC=20cm,BC=
3
AC=10
3
cm,則BP=5
3
cm,PH=
5
3
2
cm,再計(jì)算t=2.5s時,PQ=
5
3
2
(cm),即有PH=PQ,然后根據(jù)切線的判定方法得到直線AB與⊙P相切;
(2)設(shè)⊙P的半徑為R,連結(jié)OP,根據(jù)三角形中位線定理得到OP=5cm,根據(jù)圓周角定理得到AB為⊙O的直徑,所以⊙O的半徑為10cm,當(dāng)R-10=5或10-R=5,
時,⊙P與⊙O相切,然后根據(jù)速度為
3
cm/s分別計(jì)算出運(yùn)動的時間t.
解答:解:(1)直線AB與⊙P相切.理由如下:
作PH⊥AB于H點(diǎn),如圖,
∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=10cm,
∴AB=2AC=20cm,BC=
3
AC=10
3
cm,
∵P為BC的中點(diǎn),
∴BP=
1
2
BC=5
3
cm,
∴PH=
1
2
BP=
5
3
2
cm,
當(dāng)t=2.5s時,PQ=
3
×
5
2
=
5
3
2
(cm),
∴PH=PQ,
∴直線AB與⊙P相切;

(2)設(shè)⊙P的半徑為R,連結(jié)OP,
∵O為AB的中點(diǎn),P為BC的中點(diǎn),
∴OP=
1
2
AC=5cm,
∵⊙O為Rt△ABC的外接圓,
∴AB為⊙O的直徑,
∴⊙O的半徑為10cm,
∵⊙P與⊙O相切,
∴R-10=5或10-R=5,
∴R=15或R=5,
當(dāng)R=15,即PQ=15cm,則t=
15
3
=5
3
(s);
當(dāng)R=5時,即PQ=5cm,則t=
5
3
=
5
3
3
(s),
∴當(dāng)t為
5
3
3
s或5
3
s,⊙P與⊙O相切.
點(diǎn)評:本題考查了圓的綜合題:熟練掌握圓的切線的判定定理和圓周角定理;記住圓與圓的關(guān)系的判定方法和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•莆田質(zhì)檢)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB上一點(diǎn),以AE為直徑的⊙O過點(diǎn)D,且交AC于點(diǎn)F.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若CD=6,AC=8,求AE.

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如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,AD和BD分別是∠BAC和∠ABC的平分線,它們相交于點(diǎn)D,求點(diǎn)D到BC的距離.

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如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,將三角板中一個30°角的頂點(diǎn)D放在AB邊上移動,使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC、BC相交于點(diǎn)E、F,且使DE始終與AB垂直.
(1)畫出符合條件的圖形.連接EF后,寫出與△ABC一定相似的三角形;
(2)設(shè)AD=x,CF=y.求y與x之間函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
(3)如果△CEF與△DEF相似,求AD的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,BD⊥AC,sinA=
3
5
,則cos∠CBD的值是( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分別為邊AB、BC的中點(diǎn),連接DE,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線AD-DE-EB運(yùn)動,到點(diǎn)B停止.點(diǎn)P在AD上以
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cm/s的速度運(yùn)動,在折線DE-EB上以1cm/s的速度運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時,過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q,以PQ為邊作正方形PQMN,使點(diǎn)M落在線段AC上.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t(s).
(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動時,線段DP的長為
(t-2)
(t-2)
cm,(用含t的代數(shù)式表示).
(2)當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時,求t的值.
(3)當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時,設(shè)五邊形的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

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