Question

（1）若一個凸多邊形的內(nèi)角和是2340°，求這個多邊形的邊數(shù)；
（2）一個凸多邊形去掉一個內(nèi)角后，其余所有內(nèi)角的和為2008°，求這個多邊形的邊數(shù)和去掉的那個內(nèi)角的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）n邊形的內(nèi)角和是（n-2）•180°，如果已知多邊形的內(nèi)角和，就可以得到一個關(guān)于邊數(shù)的方程，解方程就可以求出多邊形的邊數(shù)．
（2）n邊形的內(nèi)角和是（n-2）•180°，因而內(nèi)角和一定是180度的倍數(shù)，而多邊形的內(nèi)角一定大于0，并且小于180度．因而內(nèi)角和去掉一個內(nèi)角的值，這個值除以180度，所得數(shù)值比邊數(shù)n-2要大，大的值小于1．則用內(nèi)角和于內(nèi)角的和除以180所得值，加上2，比這個數(shù)大的最小的整數(shù)就是多邊形的邊數(shù)．

解答：解：（1）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n．
由題意得：（n-2）×180°=2340°，
解得n=15．
所以這個多邊形的邊數(shù)是15．

（2）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是m，去掉的那個內(nèi)角為α．
則（m-2）×180°=2008°+α，
由于0°＜α＜180°，
所以0°＜（m-2）×180°-2008°＜180°，
整理得2008＜（m-2）×180＜2008+180，
即

2008

180

＜n-2＜

2008

180

+1，11

7

45

＜m-2＜12

7

45

．
因為m是正整數(shù)，所以m-2=12，m=14，所以這個多邊形的邊數(shù)為14，
去掉的那個內(nèi)角為α=（14-2）×180°-2008°=152°．

點評：本題考查的是多邊形的內(nèi)角與外角，熟知多邊形的內(nèi)角和定理是解答此題的關(guān)鍵．