Question

如圖，A、B的坐標分別為A（2，0）、B（0，4），以B為頂點在第一象限作等腰Rt△ABC，∠ABC=90°．
（1）求點C的坐標；
（2）在y軸上是否存在一點M，使得MA+MC最小，如果存在，請標出點M的位置；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作CE⊥y軸，構造直角三角形，得到△BEC≌△AOB，求出OD、OE的長即可；
（2）作出A關于y軸的對稱點，求出直線CF的解析式，即可求得到M點坐標．

解答：解：（1）作CE⊥y軸，CD⊥x軸．
在Rt△BEC和Rt△AOB中，

∠BEC=∠AOB ∠ECB=∠OBA BC=AB

，
∴△BEC≌△AOB，
∴EC=OB=4，
BE=OA=2，
∴OD=EC=4，
OE=OB+BE=4+2=6．
故C點坐標為（4，6）；

（2）作A的對稱點F（-2，0），連接FC，與y軸交于M，
根據軸對稱圖形的性質，AM=FM，
于是AM+MC=FM+MC=FC，
FC的長為MA+MC的最小值．
因為C（4，6），F（-2，0），
設解析式為y=kx+b，
把C（4，6），F（-2，0）代入解析式得，

4k+b=6 -2k+b=0

，
解得，

k=1 b=2

．
故解析式為y=x+2．
當x=0時，y=2．
故M坐標為：（0，2）．

點評：此題考查了相似三角形的性質、軸對稱圖形的性質、最短路徑問題等，有一定的難度，綜合性較強，注意作出圖形幫助解答．