Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為，求四邊形的面積；

（3）設(shè)拋物線上的點(diǎn)在第一象限，是以為一條直角邊的直角三角形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）8；（3）或.

【解析】

（1）由拋物線解析式和已知條件得出C和B的坐標(biāo)，（0，3），OC＝3，

把A（2，0）、B（6，0）分別代入y＝ax2＋bx＋3得出方程組，解方程即可；

（2）把拋物線解析式化成頂點(diǎn)式得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，四邊形ACBD的面積＝△ABC的面積＋△ABD的面積，即可得出結(jié)果；

（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，），分兩種情況：①當(dāng)∠CBE＝90°時；②當(dāng)∠BCE＝90°時；分別由三角函數(shù)得出方程，解方程即可．

（1）當(dāng)時，，

.

在中，

，

.

.

點(diǎn).

把、分別代入，得

得

解得

該拋物線解析式為.

（2），

頂點(diǎn).

.

（3）（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，），分兩種情況：

①當(dāng)∠CBE＝90°時，

作EM⊥x軸于M，如圖所示：

則∠BEM＝∠CBA，

∴＝tan∠BEM＝tan∠CBA＝，

∴EM＝2BM，

即2（x6）＝

解得：x＝10，或x＝6（不合題意，舍去），

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（10，8）；

②當(dāng)∠BCE1＝90°時，作E1N⊥y軸于N，

則∠E1CN＝∠CBA，

∴＝tan∠E1CN＝tan∠CBA＝，

∴CN＝2E1N，

即2x＝-3

解得：x＝16，或x＝0（不合題意，舍去），

∴點(diǎn)E1坐標(biāo)為（16，35）；

綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)是或.