Question

【題目】（1）已知四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，是正方形邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)以速度沿方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．

①如圖1，點(diǎn)在邊上，相交于點(diǎn)，當(dāng)互相平分時(shí)，求的值；

②如圖2，點(diǎn)在邊上，相交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．

（2）如圖，在小正方形的邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)在格點(diǎn)上．

①線段的長(zhǎng)是_____________；

②在網(wǎng)格中用無刻度的直尺，以為邊畫矩形，使這個(gè)矩形的面積是．

要求：保留畫圖痕跡，并說明點(diǎn)的位置如何找到的．

Answer 1

【答案】（1）①2；②4；（2）①；②見詳解．

【解析】

（1）①根據(jù)互相平分得四邊形APCQ為平行四邊形，進(jìn)而可得AP＝CQ，列出方程求解即可；

②根據(jù)結(jié)合∠ABC＝∠C＝90°及AB＝BC可證得△ABP≌△BCQ，進(jìn)而可得BP＝CQ，列出方程求解即可；

（2）①利用勾股定理計(jì)算即可；

②先利用勾股定理求得AB的長(zhǎng)為，再結(jié)合矩形的面積是求得矩形另一組邊長(zhǎng)為，也就是AB的長(zhǎng)的一半，進(jìn)而可以先作出以AB為邊的正方形ABEF，再找到BE、AF的中點(diǎn)C、D，連接CD，則矩形ABCD即為所求．

解：（1）①如圖1，由題意得：AP＝2t，DQ＝t，

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，

∴CQ＝CD－DQ＝6－t，

∵PQ與AC互相平分，

∴四邊形APCQ為平行四邊形，

∴AP＝CQ，

∵AP＝2t，CQ＝6－t，

∴2t＝6－t，

解得：t＝2（符合題意）；

②如圖2，由題意得：BP＝2t－6，CQ＝6－t，

∵AP⊥BQ，

∴∠AHB＝90°，

∴∠PAB＋∠ABH＝90°，

∵在正方形ABCD中，∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC

∴∠QBC＋∠ABH＝90°，

∴∠QBC＝∠PAB，

∴在△QBC和△PAB中，

∴△QBC≌△PAB（AAS），

∴CQ＝BP，

∴2t－6＝6－t，

解得：t＝4（符合題意）；

（2）①如圖，由題意得：AP＝3，BP＝2，

∴在Rt△ABP中，；

②如圖，矩形ABCD即為所求，

理由如下：由圖結(jié)合①可知：在正方形ABEF中，BE＝AB＝AF＝，∠ABC＝90°，

∵在△AGD和△FHD中，

∴△AGD≌△FHD（AAS），

∴AD＝FD＝AF＝，

同理可得BC＝CE＝BE＝，

∴AD＝BC，

∵在正方形ABEF中，AF∥BE即AD∥BC，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

又∵∠ABC＝90°，

∴四邊形ABCD為矩形，

∵S矩形ABCD＝AB·AD＝，

∴矩形ABCD即為所求．