小明在一次數(shù)學興趣小組活動中,對一個數(shù)學問題作如下探究:
問題情境:如圖1,四邊形ABCD中,AD∥BC,點E為DC邊的中點,連接AE并延長交BC的延長線于點F,求證:S四邊形ABCD=S△ABF(S表示面積)

問題遷移:如圖2:在已知銳角∠AOB內(nèi)有一個定點P.過點P任意作一條直線MN,分別交射線OA、OB于點M、N.小明將直線MN繞著點P旋轉的過程中發(fā)現(xiàn),△MON的面積存在最小值,請問當直線MN在什么位置時,△MON的面積最小,并說明理由.

實際應用:如圖3,若在道路OA、OB之間有一村莊Q發(fā)生疫情,防疫部門計劃以公路OA、OB和經(jīng)過防疫站P的一條直線MN為隔離線,建立一個面積最小的三角形隔離區(qū)△MON.若測得∠AOB=66°,∠POB=30°,OP=4km,試求△MON的面積.(結果精確到0.1km2)(參考數(shù)據(jù):sin66°≈0.91,tan66°≈2.25,≈1.73)
拓展延伸:如圖4,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,點A、B、C、P的坐標分別為(6,0)(6,3)()、(4、2),過點p的直線l與四邊形OABC一組對邊相交,將四邊形OABC分成兩個四邊形,求其中以點O為頂點的四邊形面積的最大值.
【答案】分析:問題情境:根據(jù)可以求得△ADE≌△FCE,就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出結論;
問題遷移:根據(jù)問題情境的結論可以得出當直線旋轉到點P是MN的中點時S△MON最小,過點M作MG∥OB交EF于G.由全等三角形的性質可以得出結論;
實際運用:如圖3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分別為P1,M1,再根據(jù)條件由三角函數(shù)值就可以求出結論;
拓展延伸:分情況討論當過點P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點M、N,延長OC、AB交于點D,由條件可以得出AD=6,就可以求出△OAD的面積,再根據(jù)問題遷移的結論就可以求出最大值;
當過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N,延長CB交x軸于T,由B、C的坐標可得直線BC的解析式,就可以求出T的坐標,從而求出△OCT的面積,再由問題遷移的結論可以求出最大值,通過比較久可以求出結論.
解答:解:問題情境:∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠F,∠D=∠FCE.
∵點E為DC邊的中點,
∴DE=CE.
∵在△ADE和△FCE中,
,
∴△ADE≌△FCE(AAS),
∴S△ADE=S△FCE
∴S四邊形ABCE+S△ADE=S四邊形ABCE+S△FCE,
即S四邊形ABCD=S△ABF;

問題遷移:出當直線旋轉到點P是MN的中點時S△MON最小,如圖2,
過點P的另一條直線EF交OA、OB于點E、F,設PF<PE,過點M作MG∥OB交EF于G,
由問題情境可以得出當P是MN的中點時S四邊形MOFG=S△MON
∵S四邊形MOFG<S△EOF,
∴S△MON<S△EOF,
∴當點P是MN的中點時S△MON最。

實際運用:如圖3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分別為P1,M1,
在Rt△OPP1中,
∵∠POB=30°,
∴PP1=OP=2,OP1=2
由問題遷移的結論知道,當PM=PN時,△MON的面積最小,
∴MM1=2PP1=4,M1P1=P1N.
在Rt△OMM1中,
tan∠AOB=,
2.25=,
∴OM1=,
∴M1P1=P1N=2-
∴ON=OP1+P1N=2+2-=4-
∴S△MON=ON•MM1=(4-)×4=8-≈10.3km2

拓展延伸:①如圖4,當過點P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點M、N,延長OC、AB交于點D,
∵C(,),
∴∠AOC=45°,
∴AO=AD.
∴A(6,0),
∴OA=6,
∴AD=6.
∴S△AOD=×6×6=18,
由問題遷移的結論可知,當PN=PM時,△MND的面積最小,
∴四邊形ANMO的面積最大.
作PP1⊥OA,MM1⊥OA,垂足分別為P1,M1,
∴M1P1=P1A=2,
∴OM1=M1M=2,
∴MN∥OA,
∴S四邊形OANM=S△OMM1+S四邊形ANPP1=×2×2+2×4=10
②如圖5,當過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N,延長CB交x軸于T,
∵C(,)、B(6,3),設直線BC的解析式為y=kx+b,由題意,得
,
解得:
∴y=-x+9,
當y=0時,x=9,
∴T(9,0).
∴S△OCT=9=
由問題遷移的結論可知,當PM=PN時,△MNT的面積最小,
∴四邊形CMNO的面積最大.
∴NP1=M1P1,MM1=2PP1=4,
∴4=-x+9,
∴x=5,
∴M(5,4),
∴OM1=5.
∵P(4,2),
∴OP1=4,
∴P1M1=NP1=1,
∴ON=3,
∴NT=6.
∴S△MNT=×4×6=12,
∴S四邊形OCMN=-12=<10.
∴綜上所述:截得四邊形面積的最大值為10.
點評:本題考查了由特殊到一般的數(shù)學思想的運用,全等三角形的判定及性質的運用,勾股定理的運用,待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運用,四邊形的面積公式的運用,三角形的面積公式的運用,分類討論思想的運用,解答時建立數(shù)學模型解答是關鍵.
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≈1.73)
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