【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,點(diǎn)A關(guān)于對(duì)角線BD的對(duì)稱點(diǎn)F剛好落在腰DC上,連接AF交BD于點(diǎn)E,AF的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,M,N分別是BG,DF的中點(diǎn).
(1)求證:四邊形EMCN是矩形;
(2)若AD=2,S梯形ABCD= ,求矩形EMCN的長(zhǎng)和寬.

【答案】
(1)證明:∵點(diǎn)A、F關(guān)于BD對(duì)稱,

∴AD=DF,DE⊥AF,

又∵AD⊥DC,

∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形,

∴∠DAF=∠EDF=45°,

∵AD∥BC,

∴∠G=∠GAD=45°,

∴△BGE是等腰直角三角形,

∵M(jìn),N分別是BG,DF的中點(diǎn),

∴EM⊥BC,EN⊥CD,

又∵AD∥BC,AD⊥DC,

∴BC⊥CD,

∴四邊形EMCN是矩形;


(2)解:由(1)可知,∠EDF=45°,BC⊥CD,

∴△BCD是等腰直角三角形,

∴BC=CD,

∴S梯形ABCD= (AD+BC)CD= (2+CD)CD= ,

即CD2+2CD﹣15=0,

解得CD=3,CD=﹣5(舍去),

∵△ADE、△DEF是等腰直角三角形,

∴DF=AD=2,

∵N是DF的中點(diǎn),

∴EN=DN= DF= ×2=1,

∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2,

∴矩形EMCN的長(zhǎng)和寬分別為2,1.


【解析】(1)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AD=DF,DE⊥AF,然后判斷出△ADF、△DEF是等腰直角三角形,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠DAF=∠EDF=45°,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠BGE=45°,然后判斷出△BGE是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得EM⊥BC,EN⊥CD,再根據(jù)矩形的判定證明即可;(2)判斷出△BCD是等腰直角三角形,然后根據(jù)梯形的面積求出CD的長(zhǎng),再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出DN,即可得解.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直角梯形,需要了解一腰垂直于底的梯形是直角梯形才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)直接寫(xiě)出y,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不寫(xiě)過(guò)程);

(2)①求出點(diǎn)M的坐標(biāo),并解釋該點(diǎn)坐標(biāo)所表示的實(shí)際意義;

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次數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

黑棋數(shù)

1

3

0

2

3

4

2

1

1

3

根據(jù)以上數(shù)據(jù),估算袋中的白棋子數(shù)量為(
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C.40枚
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