【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,點(diǎn)A關(guān)于對(duì)角線BD的對(duì)稱點(diǎn)F剛好落在腰DC上,連接AF交BD于點(diǎn)E,AF的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,M,N分別是BG,DF的中點(diǎn).
(1)求證:四邊形EMCN是矩形;
(2)若AD=2,S梯形ABCD= ,求矩形EMCN的長(zhǎng)和寬.
【答案】
(1)證明:∵點(diǎn)A、F關(guān)于BD對(duì)稱,
∴AD=DF,DE⊥AF,
又∵AD⊥DC,
∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形,
∴∠DAF=∠EDF=45°,
∵AD∥BC,
∴∠G=∠GAD=45°,
∴△BGE是等腰直角三角形,
∵M(jìn),N分別是BG,DF的中點(diǎn),
∴EM⊥BC,EN⊥CD,
又∵AD∥BC,AD⊥DC,
∴BC⊥CD,
∴四邊形EMCN是矩形;
(2)解:由(1)可知,∠EDF=45°,BC⊥CD,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴BC=CD,
∴S梯形ABCD= (AD+BC)CD= (2+CD)CD= ,
即CD2+2CD﹣15=0,
解得CD=3,CD=﹣5(舍去),
∵△ADE、△DEF是等腰直角三角形,
∴DF=AD=2,
∵N是DF的中點(diǎn),
∴EN=DN= DF= ×2=1,
∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2,
∴矩形EMCN的長(zhǎng)和寬分別為2,1.
【解析】(1)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AD=DF,DE⊥AF,然后判斷出△ADF、△DEF是等腰直角三角形,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠DAF=∠EDF=45°,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠BGE=45°,然后判斷出△BGE是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得EM⊥BC,EN⊥CD,再根據(jù)矩形的判定證明即可;(2)判斷出△BCD是等腰直角三角形,然后根據(jù)梯形的面積求出CD的長(zhǎng),再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出DN,即可得解.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直角梯形,需要了解一腰垂直于底的梯形是直角梯形才能得出正確答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】列方程解應(yīng)用題:
甲組的5名工人9月份完成的總工作量比此月人均定額的4倍多30件,乙組的6名工人9月份完成的總工作量比此月人均定額的6倍少30件
(1)如果兩組工人實(shí)際完成的此月人均工作量相等,那么此月人均定額是多少?
(2)如果甲組工人實(shí)際完成的此月人均工作量比乙組的多3件,則此月人均定額是多少?
(3)如果甲組工人實(shí)際完成的此月人均工作量比乙組的少3件,則此月人均定額是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn), .將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得,連接.
(1)求證: 是等邊三角形;
(2)當(dāng)時(shí),試判斷的形狀,并說(shuō)明理由;
(3)探究:當(dāng)為多少度時(shí), 是等腰三角形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓,經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),且與BC邊交于點(diǎn)E,D為BE的下半圓弧的中點(diǎn),連接AD交BC于F,若AC=FC.
(1)求證:AC是⊙O的切線:
(2)若BF=8,DF= ,求⊙O的半徑r.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一條筆直的公路上有A、B兩地,甲騎自行車(chē)從A地到B地;乙騎摩托車(chē)從B地到A地,到達(dá)A地后立即按原路返回.如圖是甲、乙兩人離B地的距離y(km)與行駛時(shí)間x(h)之間的函數(shù)圖象,根據(jù)圖象解答以下問(wèn)題:
(1)直接寫(xiě)出y甲,y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不寫(xiě)過(guò)程);
(2)①求出點(diǎn)M的坐標(biāo),并解釋該點(diǎn)坐標(biāo)所表示的實(shí)際意義;
②根據(jù)圖象判斷,x取何值時(shí),y乙>y甲.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干(它們除顏色外都相同),現(xiàn)隨機(jī)從中摸出10枚記下顏色后放回,這樣連續(xù)做了10次,記錄了如下的數(shù)據(jù):
次數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
黑棋數(shù) | 1 | 3 | 0 | 2 | 3 | 4 | 2 | 1 | 1 | 3 |
根據(jù)以上數(shù)據(jù),估算袋中的白棋子數(shù)量為( )
A.60枚
B.50枚
C.40枚
D.30枚
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,已知△ABC 中,其中 A(0,﹣2),B(2,﹣4),C(4,﹣1).
(1)畫(huà)出與△ABC 關(guān)于 y 軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1;
(2)寫(xiě)出△A1B1C1 各頂點(diǎn)坐標(biāo);
(3)求△ABC 的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4進(jìn)行因式分解的過(guò)程:
解:設(shè)a2-4a=y(tǒng),則
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y(tǒng)2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(a2-4a+4)2.(第四步)
(1)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底:________(填“徹底”或“不徹底”);
(2)若不徹底,請(qǐng)你直接寫(xiě)出因式分解的最后結(jié)果:________;
(3)請(qǐng)你模仿以上方法對(duì)多項(xiàng)式(x2-2x)(x2-2x+2)+1進(jìn)行因式分解.
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