Question

在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，將一個(gè)足夠大的直角三角板ROQ的直角頂點(diǎn)O放在對(duì)角線AC上（除A、C兩點(diǎn)外），將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，兩直角邊OQ、OR與矩形兩鄰邊分別交于E、F兩點(diǎn)．

（1）如圖1，若兩直角邊與邊AB、BC相交，當(dāng)三角板的直角頂點(diǎn)O與AC的中點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出OE與OF的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，若兩直角邊與邊AB、BC相交，當(dāng)AO=m時(shí)，請(qǐng)寫出OE與OF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）請(qǐng)你在圖3中畫出當(dāng)直角三角板ROQ的直角頂點(diǎn)O在對(duì)角線AC上滑動(dòng)時(shí)，但OE與OF的數(shù)量關(guān)系不隨之改變的某一時(shí)刻的圖形．

Answer 1

分析：（1）OE與OF的數(shù)量關(guān)系即AB與AD的邊長(zhǎng)比；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB，ON⊥BC，利用△OMF∽△ONE，可得出兩線段之間的關(guān)系；
（3）按題意作出圖形，只要直角三角板ROQ的兩直角邊OQ、OR與矩形CD、BC邊相交或與AB、AD邊相交即可（過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB，ON⊥BC，利用△OMF∽△ONE，得出OE與OF只要直角頂點(diǎn)O在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，
OE與OF的數(shù)量關(guān)系則不隨之改變）．

解答：解：（1）OE與OF的數(shù)量關(guān)系是OE：OF=AB：AC=3：4；（1分）

（2）

OE

OF

=

15-3m

4m

．（2分）
如圖2，過(guò)點(diǎn)O分別作AB、BC的垂線，垂足為M、N．
由題意易知，OM⊥ON，AC=5，BC=AD=4，
∵OM⊥AB，BC⊥AB∴OM∥BC．
∴△AOM∽△ACB．（3分）
∴

OM

BC

=

AO

AC

．
∴

OM

4

=

m

5

．
∴MO=

4m

5

．（4分）
同理可得ON=

15-3m

5

．（5分）
∵∠MOF+∠FON=90°，∠FON+∠EON=90°，
∴∠MOF=∠NOE．
又∵∠OMF=∠ONE=90°，
∴△OMF∽△ONE．（6分）
∴

OE

OF

=

ON

OM

．（7分）
∴

OE

OF

=

15-3m

4m

．

（3）如圖，只要直角三角板ROQ的兩直角邊OQ、OR與矩形CD、BC邊相交或與AB、AD邊相交即可．（8分）

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握矩形的性質(zhì)，能夠運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)，求解一些線段成比例的問題，會(huì)求解三角形相似．