Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒2cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0<t<6），過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F．

（1）如圖①，在D、E運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形AEFD是平行四邊形，請(qǐng)說明理由；

（2）連接DE，當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？

（3）如圖②，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，試問當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形 AEA′D為菱形？

 

Answer 1

【答案】

（1）先根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得DF=CD=×2t=t，即可得到DF="AE" ，由∠ABC=90°，DF⊥BC可得DF∥AE，即可證得結(jié)論；（2）秒或秒；（3）4

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得DF=CD=×2t=t，即可得到DF="AE" ，由∠ABC=90°，DF⊥BC可得DF∥AE，即可證得結(jié)論；

（2）①顯然∠DFE < 90°，②當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形，③當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，此時(shí)∠ADE = 90°，分這三種情況根據(jù)直角三角形、矩形的性質(zhì)求解即可；

（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AE=AD，即可得到關(guān)于t的方程，再解出即可.

（1）∵DF⊥BC，∠C=30°

∴DF=CD=×2t=t

∵AE=t

∴DF="AE"

∵∠ABC=90°，DF⊥BC

∴DF∥AE  

∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）①顯然 ∠DFE < 90°

②如圖（1），當(dāng)∠EDF = 90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形，

此時(shí)AE=AD，即，解得

③如圖（2），當(dāng)∠DEF = 90°時(shí)，此時(shí)∠ADE = 90°

∴∠AED = 90°－∠A=30°

∴AD=AE，即，解得

綜上：當(dāng)秒或秒時(shí)，⊿DEF為直角三角形；

（3）如圖（3），若四邊形AEA′D為菱形，則AE=AD

∴t=12－2t，解得t=4

∴當(dāng)t=4時(shí)，四邊形AEA′D為菱形.

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問題的綜合題

點(diǎn)評(píng)：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現(xiàn)，需特別注意.