Question

如圖，AB是⊙O的直徑，經(jīng)過O作弦BC的平行線，交過點(diǎn)A的切線AP于點(diǎn)P，連接AC交OP于點(diǎn)D，連接BD．
（1）求證：△ABC∽△POA；
（2）若OB=3，OP=

9

2

，求線段BC與BD的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠C=90°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PAO=∠C=90°，由OP∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠AOP=∠ABC，然后根據(jù)相似三角形的判定方法即可得到結(jié)論；
（2）利用△ABC∽△POA得到BC：OA=AB：OP，即BC：3=6：

9

2

，可計算出BC=4，在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理可計算出AC=2

5

，又OD∥BC，O點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，得到OD為△ABC的中位線，則CD=

1

2

AC=

5

，在Rt△BCD中，再根據(jù)勾股定理可計算出BD．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C=90°，
∵PA是⊙O 的切線，
∴∠PAO=90°，
∴∠PAO=∠C，
∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠ABC，
∴△ABC∽△POA，
（2）解：∵△ABC∽△POA，
∴BC：OA=AB：OP，即BC：3=6：

9

2

，
∴BC=4，
在Rt△ACB中，AC=

AB2-BC2

=

62-42

=2

5

，
∵OD∥BC，O點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，即CD=

1

2

AC=

5

，
在Rt△BCD中，BD=

BC2+CD2

=

42+( 5 )2

=

21

．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握直徑所對的圓周角為直角；圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；幾何計算中常常運(yùn)用三角形相似和勾股定理等知識．