Question

（2013•鞍山一模）如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+8（a≠0）的圖象與x軸交與A，B兩點(diǎn)，與y軸交與點(diǎn)C，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），sin∠ABC=

2 5

5

，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，直線DC交x軸于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）在直線CD上是否存在一點(diǎn)Q，使以B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）點(diǎn)P是直線y=2x-4上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PM垂直于直線CD，垂足為M，若∠MPO=75°，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先由二次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后在Rt△BOC中，根據(jù)sin∠ABC的值得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，利用待定系數(shù)法求出解析式，通過對(duì)解析式進(jìn)行配方即可得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式為y=x+8，那么可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x+8）．當(dāng)以B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論：①BQ=BC；②CQ=BC；③QB=QC．然后針對(duì)每一種情況，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列出方程，解方程即可；
（3）先求出直線CD：y=x+8與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，得到OC=OE=8，∠CEO=45°．設(shè)直線y=2x-4與直線CD交于點(diǎn)F，分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F的下方時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q．根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出∠MPQ=135°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠POQ=30°，得到直線OP的解析式為y=

3

3

x，解方程組

y= 3 3 x y=2x-4

即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F的上方時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，設(shè)直線CD與直線OP交于點(diǎn)G．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)得出∠GOQ=60°，得到直線OP的解析式為y=

3

x，解方程組

y= 3 x y=2x-4

即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+8（a≠0）的圖象與y軸交與點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C（0，8），即OC=8；
Rt△OBC中，BC=OC÷sin∠ABC=8÷

2 5

5

=4

5

，
OB=

BC2-OB2

=4，
則點(diǎn)B（4，0）．
將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得：

4a-2b+8=0 16a+4b+8=0

．
解得

a=-1 b=2

，
故拋物線的解析式：y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，頂點(diǎn)D（1，9）；

（2）在直線CD上存在點(diǎn)Q，能夠使以B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．理由如下：
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+m，
將C（0，8），D（1，9）代入，
得

m=8 k+m=9

，解得

k=1 m=8

，
則直線CD的解析式為y=x+8．
設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x+8）．
以B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：
①當(dāng)BQ=BC=4

5

時(shí)，有（x-4）²+（x+8）²=80，
整理，得2x²+8x=0，
解得x₁=-4，x₂=0（不合題意，舍去）．
當(dāng)x=-4時(shí)，x+8=4，即此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，4）；
②當(dāng)CQ=BC=4

5

時(shí)，有x²+（x+8-8）²=80，
整理，得2x²=80，
解得x₁=2

10

，x₂=-2

10

．
當(dāng)x=2

10

時(shí)，x+8=2

10

+8，即此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2

10

，2

10

+8）；
當(dāng)x=-2

10

時(shí)，x+8=-2

10

+8，即此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2

10

，-2

10

+8）；
③當(dāng)QB=QC時(shí)，有（x-4）²+（x+8）²=x²+（x+8-8）²，
整理，得8x+80=0，
解得x=-10．
當(dāng)x=-10時(shí)，x+8=-2，即此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-10，-2）．
綜上可知，在直線CD上存在點(diǎn)Q，能夠使以B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-4，4）或（2

10

，2

10

+8）或（-2

10

，-2

10

+8）或（-10，-2）；

（3）設(shè)直線CD：y=x+8與x軸交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E（-8，0），OC=OE=8，∠CEO=45°．
設(shè)直線y=2x-4與直線CD交于點(diǎn)F，分兩種情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F的下方時(shí)，如右圖1，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q．
在四邊形EMPQ中，∠MPQ=360°-∠PME-∠PQE-∠MEQ=360°-90°-90°-45°=135°，
當(dāng)∠MPO=75°時(shí)，∠OPQ=135°-75°=60°，∠POQ=30°，則直線OP的解析式為y=

3

3

x．
解方程組

y= 3 3 x y=2x-4

，得

x= 24+4 3 11 y= 4+8 3 11

，
即此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

24+4 3

11

，

4+8 3

11

）；
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F的上方時(shí)，如右圖2，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，設(shè)直線CD與直線OP交于點(diǎn)G．
在△MPG中，∠MGP=180°-∠PMG-∠GPM=180°-90°-75°=15°，
∴∠EGO=∠MGP=15°，
∴∠GOQ=∠GEO+∠EGO=45°+15°=60°，
∴直線OP的解析式為y=

3

x．
解方程組

y= 3 x y=2x-4

，得

x=8+4 3 y=8 3 +12

，
即此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（8+4

3

，8

3

+12）．
綜上可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

24+4 3

11

，

4+8 3

11

）或（8+4

3

，8

3

+12）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和定理，兩點(diǎn)間的距離公式，兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．利用分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．