Question

（2013•長(zhǎng)春）如圖①，在?ABCD中，AB=13，BC=50，BC邊上的高為12．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿B-A-D-A運(yùn)動(dòng)，沿B-A運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為每秒13個(gè)單位長(zhǎng)度，沿A-D-A運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度．點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．連結(jié)PQ．
（1）當(dāng)點(diǎn)P沿A-D-A運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AP的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．
（2）連結(jié)AQ，在點(diǎn)P沿B-A-D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B、點(diǎn)A不重合時(shí)，記△APQ的面積為S．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）過(guò)點(diǎn)Q作QR∥AB，交AD于點(diǎn)R，連結(jié)BR，如圖②．在點(diǎn)P沿B-A-D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)線(xiàn)段PQ掃過(guò)的圖形（陰影部分）被線(xiàn)段BR分成面積相等的兩部分時(shí)t的值．
（4）設(shè)點(diǎn)C、D關(guān)于直線(xiàn)PQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為C′、D′，直接寫(xiě)出C′D′∥BC時(shí)t的值．

Answer 1

分析：（1）分情況討論，當(dāng)點(diǎn)P沿A-D運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P沿D-A運(yùn)動(dòng)時(shí)分別可以表示出AP的值；
（2）分類(lèi)討論，當(dāng)0＜t＜1時(shí)，當(dāng)1＜t＜

29

4

時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式分別求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分情況討論，當(dāng)0＜t＜1時(shí)，當(dāng)1＜t＜

8

3

時(shí)，當(dāng)

8

3

＜t＜

29

4

時(shí)，利用三角形的面積相等建立方程求出其解即可；
（4）分情況討論當(dāng)P在A-D之間或D-A之間時(shí)，如圖⑥，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可以知道四邊形QCOC′為菱形，根據(jù)其性質(zhì)建立方程求出其解，當(dāng)P在D-A之間如圖⑦，根據(jù)菱形的性質(zhì)建立方程求出其解即可．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P沿A-D運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP=8（t-1）=8t-8．
當(dāng)點(diǎn)P沿D-A運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP=50×2-8（t-1）=108-8t．（2分）

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，BP=AB，t=1．
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，AP=AD，8t-8=50，t=

29

4

．
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，如圖①．
過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E．
S_△ABQ=

1

2

AB•QE=

1

2

BQ×12，
∴QE=

12BQ

AB

=

12×5t

13

=

60t

13

．
∴S=-30t²+30t．
當(dāng)1＜t≤

29

4

時(shí)，如圖②．
S=

1

2

AP×12=

1

2

×(8t-8)×12，
∴S=48t-48；

（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)R重合時(shí)，
AP=BQ，8t-8=5t，t=

8

3

．
當(dāng)0＜t≤1時(shí)，如圖③．
∵S_△BPM=S_△BQM，
∴PM=QM．
∵AB∥QR，
∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR，
在△BPM和△RQM中

∠PBM=∠QRM ∠BPM=∠MQR PM=QM

，
∴△BPM≌△RQM．
∴BP=RQ，
∵RQ=AB，
∴BP=AB
∴13t=13，
解得：t=1
 當(dāng)1＜t≤

8

3

時(shí)，如圖④．
∵BR平分陰影部分面積，
∴P與點(diǎn)R重合．
∴t=

8

3

．
當(dāng)

8

3

＜t≤

29

4

時(shí)，如圖⑤．
∵S_△ABR=S_△QBR，
∴S_△ABR＜S_{四邊形BQPR}．
∴BR不能把四邊形ABQP分成面積相等的兩部分．
綜上所述，當(dāng)t=1或

8

3

時(shí)，線(xiàn)段PQ掃過(guò)的圖形（陰影部分）被線(xiàn)段BR分成面積相等的兩部分．

（4）如圖⑥，當(dāng)P在A-D之間或D-A之間時(shí)，C′D′在BC上方且C′D′∥BC時(shí)，
∴∠C′OQ=∠OQC．
∵△C′OQ≌△COQ，
∴∠C′OQ=∠COQ，
∴∠CQO=∠COQ，
∴QC=OC，
∴50-5t=50-8（t-1）+13，或50-5t=8（t-1）-50+13，
解得：t=7或t=

95

13

．
當(dāng)P在A-D之間或D-A之間，C′D′在BC下方且C′D′∥BC時(shí)，如圖⑦．
同理由菱形的性質(zhì)可以得出：OD=PD，
∴50-5t+13=8（t-1）-50，
解得：t=

121

13

．
∴當(dāng)t=7，t=

95

13

，t=

121

13

時(shí)，點(diǎn)C、D關(guān)于直線(xiàn)PQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為C′、D′，且C′D′∥BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，菱形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解答方法確定分界點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．