Question

4．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC的中點，CE⊥AD于E，交AB于F．連接DF．求證：∠ADC=∠BDF．

Answer 1

分析 作CH⊥AB于H，交AD于G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ACH=∠BCH=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，由CE⊥AD，根據(jù)等角的余角相等得到∠1=∠2，則可根據(jù)“ASA”判斷△AGC≌△CFB，得到CG=BF，然后根據(jù)“SAS”證明△CGD≌△BFD，則可得到∠CDA=∠FDB

解答 解：作CH⊥AB于H，交AD于G，連接BE，如圖，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ACH=∠BCH=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°
∵CE⊥AD，
∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°，
∴∠1=∠2，
在△AGC和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AC=CB}\\{∠ACG=∠CBF}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△CFB（ASA），
∴CG=BF，
∵AD為腰CB上的中線，
∴CD=BD，
在△CGD和△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=BF}\\{∠GCD=∠B}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△CGD≌△BFD（SAS），
∴∠CDA=∠FDB．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)；本題有一定難度，需要通過作輔助線兩次證明三角形全等才能得出結(jié)論．