已知一元二次方程x2-4x-5=0的兩個實數(shù)根為x1、x2,且x1<x2.若x1、x2分別是拋物線y=-x2+bx+c與x軸的兩個交點A、B的橫坐標(如下圖所示).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)設(shè)(1)中的拋物線與y軸的交點為C,拋物線的頂點為D,請直接寫出點C、D的坐標并求出四邊形ABDC的面積;
(3)是否存在直線y=kx(k>0)與線段BD相交且把四邊形ABDC的面積分為相等的兩部分?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
[注:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標為()]
解:(1)由方程x2-4x-5=0得方程的兩根x1=-1,x2=5. 所以A、B的坐標分別為A(-1,0)、B(5,0).……1分 把A(-1,0)、B(5,0)代入y=-x2+bx+c得 解得…………………………………………2分 ∴拋物線的解析式為y=-x2+4x+5.…………………………3分 (2)C(0,5)、D(2,9).………………………………………5分 如圖所示,過D作DE⊥x軸于點E,則 S四邊形ACDB=S△AOC+S四邊形OCDE+S△EDB 。…………6分 。 。16+14 =30.………………………………………………7分 (3)存在滿足條件的直線.………………………8分 設(shè)過B、D兩點的直線解析式為y=k1x+d,把B(5,0)、D(2,9)代入y=k1x+d得 ………………………………9分 解得 ∴直線BD的解析式為y=-3x+15.…………………………10分 設(shè)y=kx與y=-3x+15的交點為F(m,n),作直線OF,則S△OBF=,即OB×n=15, ∴×5n=15,∴n=6. 又∵點F(m,6)在y=-3x+15上, ∴6=-3m+15. ∴m=3. ∴點F(3,6).…………………………………………………11分 把點F(3,6)代入y=kx,得6=3k,即k=2.…………………12分 |
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