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如果兩個(gè)正數(shù)a,b,即a>0,b>0,則有下面的不等式:
≥當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào)
我們把
叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),把
叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù),于是上述不等式可表述為:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù).它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用,是解決最大(小)值問(wèn)題的有力工具,下面舉一例子:
例:已知x>0,求函數(shù)
y=x+的最小值.
解:另
a=x,b=,則有
a+b≥2,得
y=x+≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)
x=時(shí),即x=2時(shí),函數(shù)有最小值,最小值為2.
根據(jù)上面回答下列問(wèn)題
①已知x>0,則當(dāng)x=
時(shí),函數(shù)
y=2x+取到最小值,最小值為
;
②用籬笆圍一個(gè)面積為100m
2的矩形花園,問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),所用的籬笆最短,最短的籬笆是多少?
③已知x>0,則自變量x取何值時(shí),函數(shù)
y=取到最大值,最大值為多少?