Question

D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點．O是△ABC平面上的一動點，連接OB、OC，G、F分別是OB、OC的中點，順次連接點D、G、F、E．

（1）如圖，當點O在△ABC內(nèi)時，求證：四邊形DGFE是平行四邊形；

（2）若四邊形DGFE是菱形，點O所在位置應(yīng)滿足什么條件？（直接寫出答案，不需說明理由．）

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)三角形的中位線定理可證得DE∥GF，DE＝GF，即可證得結(jié)論；

（2）解法一：點O的位置滿足兩個要求：AO＝BC，且點O不在射線CD、射線BE上．

解法二：點O在以A為圓心，BC為半徑的一個圓上，但不包括射線CD、射線BE與⊙A的交點．

解法三：過點A作BC的平行線l，點O在以A為圓心，BC為半徑的一個圓上，但不包括l與⊙A的兩個交點．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)三角形的中位線定理可證得DE∥GF，DE＝GF，即可證得結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形的中位線定理結(jié)合菱形的判定方法分析即可.

（1）∵D、E分別是邊AB、AC的中點．

∴DE∥BC，DE＝BC．

同理，GF∥BC，GF＝BC．

∴DE∥GF，DE＝GF．

∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）解法一：點O的位置滿足兩個要求：AO＝BC，且點O不在射線CD、射線BE上．

解法二：點O在以A為圓心，BC為半徑的一個圓上，但不包括射線CD、射線BE與⊙A的交點．

解法三：過點A作BC的平行線l，點O在以A為圓心，BC為半徑的一個圓上，但不包括l與⊙A的兩個交點．

考點：三角形的中位線定理，平行四邊形、菱形的判定

點評：平行四邊形的判定和性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)的重點，貫穿于整個初中數(shù)學(xué)的學(xué)習，是中考中比較常見的知識點，一般難度不大，需熟練掌握.